Giả sử $H$ là trực tâm của tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn $\Gamma_{A}$ có tâm tại trung điểm $\overline{BC}$ và đi qua $H$ cắt đường biên $BC$ tại các điểm $A_1$ và $A_2$. Tương tự, đường tròn có tâm tại trung điểm $CA$ và đi qua $H$ cắt đường thẳng $CA$ tại $B_1,B_2$, và đường tròn có tâm tại trung điểm $AB$ và đi qua $H$ cắt đường $AB$ tại $C_1,C_2$. Chứng minh rằng sáu điểm $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ đều là đồng viên.
Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực với $xyz = 1$, tất cả đều khác với $1$. Chứng minh rằng $$
\frac{x^2}{(x-1)^2} + \frac{y^2}{(y-1)^2} + \frac{z^2}{(z-1)^2} \ge 1
$$ và chứng tỏ rằng đẳng thức đúng cho vô số cách chọn các số hữu tỉ $x$, $y$, $z$.
Tìm tất cả các hàm số $f$ từ các số thực dương đến các số thực dương sao cho $$
\frac{f(w)^2 + f(x)^2}{f(y^2)+f(z^2)} = \frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}
$$ cho mọi số thực dương $w$, $x$, $y$, $z$ thỏa mãn $wx=yz$.
Cho các số nguyên dương $n$ và $k$ với $k \geq n$ và $k - n$ là số chẵn. Có $2n$ bóng đèn được đánh số $1$, $2$, …, $2n$; mỗi đèn có thể bật hoặc tắt. Ban đầu tất cả đều tắt. Xét các dãy thao tác: mỗi bước đổi trạng thái một đèn từ bật sang tắt hoặc từ tắt sang bật. Gọi $N$ là số dãy gồm $k$ bước kết thúc với các đèn từ $1$ đến $n$ đều bật và các đèn từ $n + 1$ đến $2n$ đều tắt. Gọi $M$ là số dãy gồm $k$ bước kết thúc với các đèn từ $1$ đến $n$ đều bật và các đèn từ $n + 1$ đến $2n$ đều tắt, đồng thời không có đèn nào từ $n + 1$ đến $2n$ được bật ở bất kỳ thời điểm nào. Tính $\frac{N}{M}$.
Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi với $BA \neq BC$. Ký hiệu các đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $ADC$ lần lượt là $\omega_1$ và $\omega_2$ . Giả sử rằng tồn tại một đường tròn $\omega$ tiếp xúc với tia $BA$ ngoài $A$ và với tia $BC$ ngoài $C$, cũng tiếp xúc với các đường thẳng $AD$ và $CD$. Chứng minh rằng các tiếp tuyến chung ngoài của $\omega_1$ và $\omega_2$ cắt nhau trên $\omega$.