Ngân hàng câu hỏi IMO 1959

(POL) Với mọi số nguyên $n$, chứng minh rằng phân số $\frac{21n+4}{14n+3}$ không thể rút gọn được nữa.

(ROM) Những số thực $x$ nào thỏa mãn các phương trình sau:

(a) $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}=\sqrt2$,

(b) $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}=1$,

(c) $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}=2$?

(HUN) Cho góc $x$ và các số thực $a,b,c,\cos x$ thỏa mãn phương trình
$$a\cos^2x+b\cos x+c=0.$$
Hãy viết phương trình bậc hai tương tự đối với $a,b,c,\cos2x$. So sánh đẳng thức đã cho và đẳng thức thu được khi $a=4,b=2,c=-1$.

(HUN) Dựng một tam giác vuông có cạnh huyền $c$ cho trước, biết rằng trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng trung bình nhân của hai cạnh còn lại.

(ROM) Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $M$ trên đoạn đó. Về cùng một phía của $AB$, dựng các hình vuông $AMCD$ và $BMFE$. Hai đường tròn ngoại tiếp các hình vuông, có tâm lần lượt là $P$ và $Q$, cắt nhau tại $M$ và một điểm khác là $N$.

(a) Chứng minh rằng các đường thẳng $FA$ và $BC$ cắt nhau tại $N$.

(b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng $MN$ được dựng như trên đều đi qua cùng một điểm $S$, bất kể vị trí của $M$.

(c) Tìm quỹ tích trung điểm của các đoạn thẳng $PQ$ khi $M$ thay đổi trên đoạn $AB$.

(CZS) Cho hai mặt phẳng $\alpha$ và $\beta$ cắt nhau theo đường thẳng $p$. Trong $\alpha$ cho điểm $A$, trong $\beta$ cho điểm $C$, cả hai đều không nằm trên $p$. Dựng $B$ trong $\alpha$ và $D$ trong $\beta$ sao cho $ABCD$ là một hình thang đều, $AB\parallel CD$, có một đường tròn nội tiếp.