Cho điểm $M$ trên cạnh $AB$ của tam giác $ABC$. Gọi $r_1$ và $r_2$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp của các tam giác $ACM$ và $BCM$, còn $\rho_1$ và $\rho_2$ lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp của các tam giác $ACM$ và $BCM$ ứng với các cạnh $AM$ và $BM$. Gọi $r$ và $\rho$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp ứng với cạnh $AB$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng
$$\frac{r_1r_2}{\rho_1\rho_2}=\frac r\rho.$$
Cho $a$ và $b$ là cơ số của hai hệ đếm và đặt
$$A_n=\overline{x_1x_2\ldots x_n}^{(a)},\quad A_{n+1}=\overline{x_0x_1x_2\ldots x_n}^{(a)},$$
$$B_n=\overline{x_1x_2\ldots x_n}^{(b)},\quad B_{n+1}=\overline{x_0x_1x_2\ldots x_n}^{(b)},$$
là các số trong hai hệ đếm có cơ số tương ứng $a$ và $b$, trong đó $x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n$ đều là chữ số hợp lệ trong cả hệ cơ số $a$ lẫn hệ cơ số $b$. Giả sử cả $x_0$ và $x_1$ đều khác không. Chứng minh rằng $a\gt b$ khi và chỉ khi
$$\frac{A_n}{A_{n+1}}\lt \frac{B_n}{B_{n+1}}.$$
Cho dãy số thực $1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots$. Xét dãy $b_1,b_2,\ldots$ xác định bởi:
$$b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}.$$
Chứng minh rằng:
(a) Với mọi số tự nhiên $n$, ta có $0\le b_n\lt 2$.
(b) Với mỗi số tùy ý $0\le b\lt 2$, tồn tại một dãy $a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots$ có tính chất trên sao cho $b_n\gt b$ đúng với vô hạn số tự nhiên $n$.
Trong tứ diện $ABCD$, các cạnh $BD$ và $CD$ vuông góc với nhau, và hình chiếu của đỉnh $D$ lên mặt phẳng $ABC$ là giao điểm các đường cao của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng
$$(AB+BC+CA)^2\le6(DA^2+DB^2+DC^2).$$
Với những tứ diện nào thì xảy ra dấu bằng?
Cho 100 điểm trong mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Xét tất cả các tam giác có mọi đỉnh được chọn từ 100 điểm đã cho. Chứng minh rằng nhiều nhất 70% số tam giác này là tam giác nhọn.