Ngân hàng câu hỏi IMO 2013

Đặt $k$ và $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $m_1$, …, $m_k$ sao cho $$
1 + \frac{2^k-1}{n} = \left( 1 + \frac{1}{m_1} \right) \left( 1 + \frac{1}{m_2} \right)
\dots \left( 1 + \frac{1}{m_k} \right).
$$ các số nguyên $m_1,\ldots,m_k$ không cần phải khác nhau.

Một cấu hình gồm $4027$ điểm trong mặt phẳng được gọi là *Colombia* nếu có $2013$ điểm đỏ, $2014$ điểm xanh và không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ một số đường thẳng chia mặt phẳng thành các miền. Hệ đường thẳng được gọi là *tốt* đối với cấu hình Colombia nếu:

(i) Không có đường thẳng nào đi qua một điểm của cấu hình.

(ii) Không có miền nào chứa điểm thuộc cả hai màu.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ sao cho với mọi cấu hình Colombia gồm $4027$ điểm, tồn tại một hệ $k$ đường thẳng tốt.

Đường tròn bàng tiếp của tam giác $ABC$ đối diện đỉnh $A$ tiếp xúc cạnh $BC$ tại $A_1$. Tương tự, xác định $B_1$ trên $CA$ và $C_1$ trên $AB$ bằng các đường tròn bàng tiếp đối diện $B$ và $C$. Giả sử tâm ngoại tiếp của tam giác $A_1B_1C_1$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông. Đường tròn bàng tiếp đối diện $A$ tiếp xúc đoạn $BC$, tia $AB$ ở phần ngoài $B$, và tia $AC$ ở phần ngoài $C$. Các đường tròn bàng tiếp khác được định nghĩa tương tự.

Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$, và điểm $W$ thuộc cạnh $\overline{BC}$, nằm giữa $B$ và $C$. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt là chân đường cao từ $B$ và $C$. Gọi $\omega_1$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BWN$, và chọn $X$ sao cho $\overline{WX}$ là đường kính của $\omega_1$. Tương tự, gọi $\omega_2$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $CWM$, và chọn $Y$ sao cho $\overline{WY}$ là đường kính của $\omega_2$. Chứng minh rằng $X$, $Y$ và $H$ thẳng hàng.

Giả sử hàm số $f \colon \mathbb{Q}_{\gt 0} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

1. [(i)] Nếu $x,y \in \mathbb{Q}_{\gt 0}$ thì $f(x)f(y) \ge f(xy)$.

2. [(ii)] Nếu $x,y \in \mathbb{Q}_{\gt 0}$ thì $f(x+y) \ge f(x) + f(y)$.

3. [(iii)] Tồn tại số hữu tỷ $a \gt 1$ với $f(a) = a$.

Chứng minh rằng $f(x) = x$ với mọi số hữu tỉ dương $x$.

Giả sử $n \ge 3$ là một số nguyên và xem xét một vòng tròn có $n + 1$ các điểm cách đều nhau được đánh dấu trên đó. Xem xét tất cả các cách gán nhãn cho các điểm này bằng các số $0, 1, \dots , n$ sao cho mỗi nhãn được sử dụng chính xác một lần; hai cách gán nhãn như vậy được coi là giống nhau nếu có thể lấy được nhãn này từ nhãn kia bằng cách quay vòng tròn. Một cách gán nhãn được gọi là *đẹp* nếu, đối với bốn nhãn $a \lt b \lt c \lt d$ bất kỳ với $a + d = b + c$, dây cung nối các điểm được gắn nhãn $a$ và $d$ không giao nhau với dây cung nối các điểm được gắn nhãn $b$ và $c$. Đặt $M$ là số cách gán nhãn đẹp và đặt $N$ là số cặp có thứ tự $(x, y)$ của các số nguyên dương sao cho $x + y \le n$ và $\gcd(x, y) = 1$. Chứng minh rằng $M = N + 1$.