Các số thực $a_1$, $a_2$, …, $a_n$ là cố định. Đối với mỗi $1 \le i \le n$ ta đặt $d_i = \max\{a_j : 1 \le j \le i\} - \min\{a_j : i \le j \le n\}$ và đặt $d = \max \{d_i : 1 \le i \le n\}$.
(a) Chứng minh rằng với mọi số thực $x_1 \le \dots \le x_n$ ta có $$
\max \left\{ \left\lvert x_i - a_i \right\rvert :
1 \le i \le n \right\}
\ge \frac12 d.
$$
(b) Hơn nữa, hãy chứng minh rằng tồn tại một số lựa chọn $x_1 \le \dots \le x_n$ đạt được đẳng thức.
Xét năm điểm $A$, $B$, $C$, $D$ và $E$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành và $BCED$ là tứ giác nội tiếp. Giả sử $\ell$ là một đường thẳng đi qua $A$. Giả sử rằng $\ell$ cắt phần bên trong của đoạn $DC$ tại $F$ và cắt đường $BC$ tại $G$. Giả sử rằng $EF = EG = EC$. Chứng minh rằng $\ell$ là phân giác của góc $DAB$.
Trong một cuộc thi toán, một số cặp thí sinh là bạn của nhau. Một nhóm thí sinh được gọi là *clique* (nhóm bạn hoàn toàn) nếu cứ hai thành viên bất kỳ đều là bạn của nhau. Kích thước của nhóm là số thành viên; nhóm có ít hơn hai thí sinh cũng được coi là một clique. Biết kích thước lớn nhất của một clique là số chẵn, chứng minh rằng có thể chia các thí sinh vào hai phòng sao cho kích thước lớn nhất của một clique nằm hoàn toàn trong phòng này bằng kích thước lớn nhất của một clique nằm hoàn toàn trong phòng kia.
Trong tam giác $ABC$ đường phân giác của $\angle BCA$ lại cắt đường tròn ngoại tiếp tại $R$, đường trung trực của $\overline{BC}$ tại $P$, và đường trung trực của $\overline{AC}$ tại $Q$. Trung điểm của $\overline{BC}$ là $K$ và trung điểm của $\overline{AC}$ là $L$. Chứng minh rằng các tam giác $RPK$ và $RQL$ có diện tích bằng nhau.
Đặt $n$ là số nguyên dương. Hãy coi $$
S = \left\{ (x,y,z) \mid
x,y,z \in \{ 0, 1, \dots, n\}, \;
x+y+z \gt 0 \right\}
$$ là tập hợp các điểm $(n+1)^3-1$ trong không gian ba chiều. Xác định số lượng mặt phẳng nhỏ nhất có thể, hợp của nó chứa $S$ nhưng không bao gồm $(0,0,0)$.