Giả sử $a_0 \lt a_1 \lt a_2 \lt \dotsb$ là vô hạn dãy số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên duy nhất $n\geq 1$ sao cho $$
a_n \lt \frac{a_0+a_1+a_2+\dotsb+a_n}{n} \le a_{n+1}.
$$
Đặt $n \ge 2$ là một số nguyên. Xét một bàn cờ $n \times n$ gồm có $n^2$ ô vuông đơn vị. Cấu hình của $n$ quân xe trên bảng này là *hòa bình* nếu mỗi hàng và mỗi cột chứa chính xác một quân. Tìm số nguyên dương lớn nhất $k$ sao cho, với mỗi cấu hình hòa bình gồm $n$ quân xe, có một hình vuông $k \times k$ không chứa quân xe trên bất kỳ ô vuông đơn vị $k^2$ nào của nó.
Tứ giác lồi $ABCD$ có $\angle ABC = \angle CDA = 90^\circ$. Điểm $H$ là chân đường vuông góc nối từ $A$ đến $\overline{BD}$. Các điểm $S$ và $T$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB$ và $AD$ sao cho $H$ nằm trong tam giác $SCT$ và $$
\angle CHS - \angle CSB = 90^{\circ},
\quad \angle THC - \angle DTC = 90^{\circ}.
$$ Chứng minh rằng đường thẳng $BD$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác $TSH$.
Đặt $P$ và $Q$ nằm trên đoạn $BC$ của tam giác nhọn $ABC$ sao cho $\angle PAB=\angle BCA$ và $\angle CAQ=\angle ABC$. Đặt $M$ và $N$ lần lượt là các điểm trên $\overline{AP}$ và $\overline{AQ}$, sao cho $P$ là trung điểm của $\overline{AM}$ và $Q$ là trung điểm của $\overline{AN}$. Chứng minh rằng $\overline{BM}$ và $\overline{CN}$ gặp nhau trên đường tròn ngoại tiếp của $\triangle ABC$.
Đối với mọi số nguyên dương $n$, Ngân hàng Cape Town phát hành tiền có mệnh giá $\frac 1n$. Cho một bộ sưu tập hữu hạn các đồng tiền như vậy (không nhất thiết phải có mệnh giá khác nhau) với tổng giá trị không quá $99 + \frac12$, hãy chứng minh rằng có thể chia bộ sưu tập này thành $100$ hoặc ít nhóm hơn, sao cho mỗi nhóm có tổng giá trị tối đa $1$.
Một tập hợp các đường thẳng trong mặt phẳng ở *vị trí tổng quát* nếu không có hai đường nào song song và không có ba đường nào đi qua cùng một điểm. Một tập hợp các đường ở vị trí tổng quát cắt mặt phẳng thành các vùng, một số trong đó có diện tích hữu hạn; ta gọi đây là *các vùng hữu hạn*. Chứng minh rằng với tất cả $n$ đủ lớn, trong bất kỳ tập hợp đường $n$ nào ở vị trí tổng quát, có thể tô màu ít nhất $\sqrt{n}$ đường thẳng màu xanh lam sao cho không có vùng hữu hạn nào của nó có ranh giới hoàn toàn màu xanh lam. Lưu ý: Kết quả có $\sqrt n$ được thay thế bằng $c\sqrt n$ sẽ được tính điểm tùy thuộc vào giá trị của hằng số $c$.