Ngân hàng câu hỏi IMO 1992

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên $(p,q,r)$ sao cho $1\lt p\lt q\lt r$ và $(p-1)(q-1)(r-1)$ là ước của $(pqr-1)$.

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho
$$f(x^2+f(y))=y+f(x)^2$$
với mọi $x,y\in\mathbb R$.

Cho chín điểm trong không gian, không có bốn điểm nào đồng phẳng. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất $n$ sao cho với mọi cách tô đỏ hoặc xanh $n$ cạnh nối giữa chín điểm này, luôn tồn tại một tam giác có tất cả các cạnh cùng màu.

Trong mặt phẳng, cho đường tròn $C$, đường thẳng $l$ tiếp xúc với $C$, và điểm $M$ trên $l$. Tìm quỹ tích các điểm $P$ có tính chất sau: Tồn tại hai điểm $Q$ và $R$ trên $l$ sao cho $M$ là trung điểm của $QR$ và $C$ là đường tròn nội tiếp của $PQR$.

Cho $V$ là một tập con hữu hạn của không gian Euclid gồm các điểm $(x,y,z)$ có tọa độ nguyên. Gọi $S_1,S_2,S_3$ lần lượt là các hình chiếu của $V$ lên các mặt phẳng $yz,xz,xy$. Chứng minh rằng
$$|V|^2\le |S_1||S_2||S_3|$$
($|X|$ biểu thị số phần tử của $X$).

Với mỗi số nguyên dương $n$, ký hiệu $s(n)$ là số nguyên lớn nhất sao cho với mọi số nguyên dương $k\le s(n)$, $n^2$ có thể biểu diễn thành tổng các bình phương của $k$ số nguyên dương.
(a) Chứng minh rằng $s(n)\le n^2-14$ với mọi $n\ge4$.
(b) Tìm một số $n$ sao cho $s(n)=n^2-14$.
(c) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $s(n)=n^2-14$.