Đặt $A$ là tập con gồm $101$ phần tử của $S=\{1,2,\dots,10^6\}$. Chứng minh rằng tồn tại các số $t_1$, $t_2, \dots, t_{100}$ trong $S$ sao cho các tập $$
A_j=\{x+t_j\mid x\in A\},\qquad j=1,2,\dots,100
$$ rời nhau theo từng cặp.
Mỗi cặp cạnh đối diện của lục giác lồi có tính chất là khoảng cách giữa các trung điểm của chúng bằng $\frac{\sqrt3}{2}$ nhân tổng độ dài của chúng. Chứng minh rằng lục giác đều.
Đặt $ABCD$ là tứ giác nội tiếp. Gọi $P$, $Q$ và $R$ lần lượt là chân các đường vuông góc từ $D$ đến các đường thẳng $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ và $\overline{AB}$. Chứng minh rằng $PQ = QR$ khi và chỉ khi các phân giác của các góc $ABC$ và $ADC$ cắt nhau trên đoạn $\overline{AC}$.
Đặt $n\gt2$ là số nguyên và đặt $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_n$ là số thực. Chứng minh rằng $$
\left(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} |x_i - x_j|\right)^2
\le \frac{2(n^2-1)}{3}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} (x_i - x_j)^2
$$ có đẳng thức khi và chỉ khi $x_1$, $x_2$, …, $x_n$ tạo thành một cấp số cộng.