Ngân hàng câu hỏi IMO 1985

Một đường tròn có tâm nằm trên cạnh $ED$ của tứ giác nội tiếp $BCDE$ và tiếp xúc với ba cạnh còn lại. Chứng minh rằng $EB+CD=ED$.

Mỗi số trong tập $N=\{1,2,3,\ldots,n-1\}$, với $n\ge3$, được tô một trong hai màu, chẳng hạn đỏ hoặc đen, sao cho:
(i) $i$ và $n-i$ luôn được tô cùng màu, và
(ii) với một $j\in N$ nào đó nguyên tố cùng nhau với $n$, các số $i$ và $|j-i|$ được tô cùng màu với mọi $i\in N$, $i\ne j$.
Chứng minh rằng mọi số trong $N$ phải được tô cùng màu.

Trọng số $w(p)$ của một đa thức $p$, $p(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$, với các hệ số nguyên $a_i$ được định nghĩa là số hệ số lẻ của nó. Với $i=0,1,2,\ldots$, đặt $q_i(x)=(1+x)^i$. Chứng minh rằng với mọi dãy hữu hạn $0\le i_1\lt i_2\lt \cdots\lt i_n$, ta có bất đẳng thức
$$w(q_{i_1}+\cdots+q_{i_n})\ge w(q_{i_1})$$.

Cho một tập hợp $M$ gồm 1985 số nguyên dương, không số nào có ước nguyên tố lớn hơn 26. Chứng minh rằng $M$ có bốn phần tử phân biệt mà trung bình nhân của chúng là một số nguyên.

Một đường tròn tâm $O$ đi qua các điểm $A$ và $C$ và cắt các cạnh $AB$, $BC$ của tam giác $ABC$ lần lượt tại các điểm $K$, $N$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC$ và $KBN$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $B$ và $M$. Chứng minh rằng $\angle OMB=90^\circ$.

Dãy hàm số $f_1,f_2,\ldots,f_n,\ldots$ được định nghĩa với $x>0$ theo hệ thức truy hồi
$$f_1(x)=x,\qquad f_{n+1}(x)=f_n(x)\left(f_n(x)+\frac1n\right).$$
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một số dương $a$ sao cho $0\lt f_n(a)\lt f_{n+1}(a)\lt 1$ với mọi số nguyên $n\ge1$.