Cho $ABC$ là tam giác nhọn với $AB\neq AC$. Đường tròn có đường kính $BC$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Ký hiệu là $O$ là trung điểm của cạnh $BC$. Các tia phân giác của các góc $\angle BAC$ và $\angle MON$ cắt nhau tại $R$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMR$ và $CNR$ có một điểm chung nằm trên cạnh $BC$.
Tìm tất cả các đa thức $P$ có hệ số thực sao cho với mọi số thực $a$, $b$, $c$ sao cho $ab+bc+ca = 0$, ta có $$
P(a-b) + P(b-c) + P(c-a) = 2P(a+b+c).
$$
Xác định một “cái móc” là một hình được tạo thành từ sáu ô vuông đơn vị như minh họa bên dưới trong hình hoặc bất kỳ hình nào có được bằng cách áp dụng các phép quay và phản xạ cho hình này.
Xác định tất cả các hình chữ nhật $m\times n$ có thể được bao phủ bởi các móc mà không có khoảng trống hoặc chồng lên nhau, sao cho không có phần nào của móc bao phủ khu vực bên ngoài hình chữ nhật.
Cho $n \ge 3$ là một số nguyên và $t_1$, $t_2$, …, $t_n$ các số thực dương sao cho $$
n^2+1 \gt \left(t_1 + t_2 + \dots + t_n\right)
\left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \dots + \frac{1}{t_n} \right).
$$ Chứng tỏ rằng $t_i$, $t_j$, $t_k$ là các cạnh của một tam giác với mọi $i$, $j$, $k$ với $1 \le i \lt j \lt k \le n$.
Trong một tứ giác lồi $ABCD$, đường chéo $BD$ không chia đôi góc $ABC$ cũng như góc $CDA$. Điểm $P$ nằm trong $ABCD$ và thỏa mãn $$
\angle PBC=\angle DBA \quad\text{và}\quad \angle PDC=\angle BDA.
$$ Chứng minh rằng $ABCD$ là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi $AP=CP$.
Ta gọi số nguyên dương là *xen kẽ* nếu cứ hai chữ số liên tiếp trong biểu diễn thập phân của nó có tính chẵn lẻ khác nhau. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có bội số xen kẽ.
