Ngân hàng câu hỏi IMO 1963

(CZS) Tìm tất cả nghiệm thực của phương trình $\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x$, trong đó $p$ là một số thực.

(USS) Tìm quỹ tích các điểm trong không gian là đỉnh của các góc vuông có một tia đi qua một điểm cho trước và tia kia cắt một đoạn thẳng cho trước.

(HUN) Chứng minh rằng nếu mọi góc của một đa giác lồi $n$ cạnh bằng nhau và độ dài các cạnh liên tiếp $a_1,\ldots,a_n$ thỏa mãn $a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n$, thì $a_1=a_2=\cdots=a_n$.

(USS) Tìm tất cả các nghiệm $x_1,\ldots,x_5$ của hệ phương trình
$$\begin{cases}x_5+x_2=yx_1,\\x_1+x_3=yx_2,\\x_2+x_4=yx_3,\\x_3+x_5=yx_4,\\x_4+x_1=yx_5,\end{cases}$$
trong đó $y$ là tham số thực.

(GDR) Chứng minh rằng $\cos\frac\pi7-\cos\frac{2\pi}7+\cos\frac{3\pi}7=\frac12$.

(HUN) Năm học sinh $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ tham gia một cuộc thi. Trước cuộc thi, hai người $X$ và $Y$ thử đoán thứ hạng. $X$ cho rằng thứ tự sẽ là $A,B,C,D,E$; còn $Y$ cho rằng thứ tự sẽ là $D,A,E,C,B$. Cuối cùng được biết rằng $X$ không đoán đúng thứ hạng của bất kỳ người tham gia nào, và cũng không đoán đúng thứ tự của bất kỳ cặp người tham gia liên tiếp nào. Trong khi đó, $Y$ đoán đúng thứ hạng của hai người tham gia và đúng thứ tự của hai cặp người tham gia liên tiếp. Hãy xác định thứ hạng của cuộc thi.