Đặt $n, k \ge 2$ là các số nguyên dương và đặt $a_1$, $a_2$, $a_3$, …, $a_k$ là các số nguyên riêng biệt trong tập hợp $\left\{ 1,2,\dots,n \right\}$ sao cho $n$ là ước của $a_i(a_{i+1} - 1)$ cho $i = 1,2,\dots,k-1$. Chứng minh rằng $n$ không chia hết $a_k(a_1 - 1)$.
Cho $ABC$ là một tam giác có tâm ngoại tiếp $O$. Các điểm $P$ và $Q$ lần lượt là các điểm bên trong của các cạnh $CA$ và $AB$. Đặt $K$, $L$, $M$ là trung điểm của $\overline{BP}$, $\overline{CQ}$, $\overline{PQ}$. Giả sử rằng $\overline{PQ}$ tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp của $\triangle KLM$. Chứng minh rằng $OP = OQ$.
Giả sử rằng $s_1,s_2,s_3, \dotsc$ là một dãy tăng nghiêm ngặt của các số nguyên dương sao cho các dãy con $s_{s_1}$, $s_{s_2}$, $s_{s_3}$, … và $s_{s_1 + 1}$, $s_{s_2 + 1}$, $s_{s_3 + 1}$, … đều là các cấp số cộng. Chứng minh rằng dãy $s_1$, $s_2$, $s_3$, … bản thân nó là cấp số cộng.
Đặt $ABC$ là một hình tam giác với $AB = AC$. Các đường phân giác của $\angle CAB$ và $\angle ABC$ lần lượt cắt các cạnh $BC$ và $CA$ tại $D$ và $E$. Gọi $K$ là tâm nội tiếp của tam giác $ADC$. Giả sử rằng $\angle BEK = 45^\circ$. Tìm tất cả các giá trị có thể có của $\angle CAB$.
Tìm tất cả các hàm số $f \colon \mathbb{Z}_{\gt 0} \to \mathbb{Z}_{\gt 0}$ sao cho với các số nguyên dương $a$ và $b$, các số $$
a, \qquad f(b), \qquad f(b+f(a)-1)
$$ là các cạnh của một tam giác không suy biến. Một tam giác là không suy biến nếu các đỉnh của nó không thẳng hàng.
Đặt $a_1$, $a_2$, …, $a_n$ là các số nguyên dương phân biệt và đặt $M$ là tập hợp $n-1$ số nguyên dương không chứa $s = a_1 + \dots + a_n$. Một con châu chấu sẽ nhảy dọc theo trục thực, bắt đầu từ điểm $0$ và thực hiện $n$ nhảy sang bên phải với độ dài $a_1$, $a_2$, …, $a_n$ theo thứ tự nào đó. Chứng minh rằng có thể chọn thứ tự sao cho con châu chấu không bao giờ đậu vào bất kỳ điểm nào trong $M$.