Hai đường tròn $G_1$ và $G_2$ cắt nhau tại hai điểm $M$ và $N$. Đặt $AB$ lần lượt là đường tiếp tuyến với các đường tròn này tại $A$ và $B$, sao cho $M$ nằm gần $AB$ hơn $N$. Giả sử $CD$ là đường thẳng song song với $AB$ và đi qua điểm $M$, với $C$ trên $G_1$ và $D$ trên $G_2$. Các đường thẳng $AC$ và $BD$ gặp nhau tại $E$; dòng $AN$ và $CD$ gặp nhau tại $P$; dòng $BN$ và $CD$ gặp nhau tại $Q$. Chứng minh rằng $EP = EQ$.
Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương với $abc = 1$. Chứng minh rằng $$
\left( a - 1 + \frac 1b \right)
\left( b - 1 + \frac 1c \right)
\left( c - 1 + \frac 1a \right)
\le 1.
$$
Đặt $n \ge 2$ là số nguyên dương và $\lambda$ là số thực dương. Ban đầu có $n$ bọ chét nằm trên một đường ngang, không phải tất cả đều ở cùng một điểm. Ta định nghĩa một nước đi là chọn hai con bọ chét tại một số điểm $A$ và $B$, với $A$ ở bên trái $B$ và để con bọ chét từ $A$ nhảy qua con bọ chét từ $B$ đến điểm $C$ sao cho $\frac{BC}{AB} = \lambda$.
Xác định tất cả các giá trị của $\lambda$ sao cho, đối với bất kỳ điểm $M$ nào trên đường thẳng và với bất kỳ vị trí ban đầu nào của $n$ bọ chét, tồn tại một dãy các bước di chuyển sẽ đưa tất cả chúng đến vị trí bên phải của $M$.
Một nhà ảo thuật có một trăm lá bài được đánh số từ $1$ đến $100$. Ông đặt chúng vào ba hộp màu đỏ, trắng và xanh, sao cho mỗi hộp có ít nhất một lá bài. Một khán giả rút hai lá bài từ hai hộp khác nhau và thông báo tổng các số trên hai lá bài đó. Chỉ từ thông tin này, nhà ảo thuật xác định được hộp không có lá bài nào được rút ra.
Có bao nhiêu cách đặt các lá bài vào ba hộp để màn ảo thuật luôn thực hiện được?
Đặt $\overline{AH_1}$, $\overline{BH_2}$ và $\overline{CH_3}$ là các đường cao của một tam giác nhọn $ABC$. đường tròn nội tiếp $\omega$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC$, $CA$ và $AB$ tại $T_1$, $T_2$ và $T_3$ tương ứng. Hãy xem xét ảnh đối xứng của các đường $H_1H_2$, $H_2H_3$ và $H_3H_1$ đối với các đường $T_1T_2$, $T_2T_3$ và $T_3T_1$. Chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng này tạo thành một tam giác có các đỉnh nằm trên $\omega$.