Tìm điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$ để
$$\frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF}$$
nhỏ nhất, trong đó $PD,PE,PF$ lần lượt là các đoạn vuông góc từ $P$ đến $BC,CA,AB$.
Gọi $f(n,r)$ là trung bình cộng của các phần tử nhỏ nhất của tất cả các tập con gồm $r$ phần tử của tập $\{1,2,\ldots,n\}$. Chứng minh $f(n,r)=\frac{n+1}{r+1}$.
(a) Với những giá trị nào của $n>2$ tồn tại một tập hợp gồm $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho số lớn nhất trong tập trong tập là ước của bội chung nhỏ nhất của $n-1$ số còn lại?
(b) Với những giá trị nào của $n>2$ chỉ có duy nhất một tập hợp có tính chất đã nêu?
Ba đường tròn bằng nhau tiếp xúc với các cạnh của một tam giác và có một điểm chung $O$. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và điểm $O$ thẳng hàng.
Giả sử $f(x,y)$ được xác định với mọi số nguyên dương $x$ và $y$, và thỏa mãn các phương trình sau:
$$f(0,y)=y+1,\qquad f(x+1,0)=f(x,1),\qquad f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y)).$$
Tìm $f(4,1981)$.