Câu hỏi 1
Có 2026 số nguyên lớn hơn 1 được viết trên bảng đen, không nhất thiết phải khác nhau. Trong một nước đi, Khổng Tử chọn hai số nguyên $m\gt 1$ và $n\gt 1$ từ các vị trí khác nhau trên bảng đen và thay thế hai số nguyên này bằng
$$\gcd(m,n)\quad\text{và}\quad \frac{\operatorname{lcm}(m,n)}{\gcd(m,n)}.$$
Anh ta tiếp tục thực hiện các thao tác trong khi có thể làm như vậy.
(a) Chứng minh rằng, bất kể sự lựa chọn của Khổng Tử, sau hữu hạn nhiều nước đi, có đúng một số nguyên $M$ trên bảng lớn hơn 1.
(b) Chứng minh rằng giá trị của $M$ không phụ thuộc vào sự lựa chọn của Khổng Tử.
Ở đây $\gcd(x,y)$ biểu thị ước số chung lớn nhất và $\operatorname{lcm}(x,y)$ là bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên dương $x,y$.
$$\gcd(m,n)\quad\text{và}\quad \frac{\operatorname{lcm}(m,n)}{\gcd(m,n)}.$$
Anh ta tiếp tục thực hiện các thao tác trong khi có thể làm như vậy.
(a) Chứng minh rằng, bất kể sự lựa chọn của Khổng Tử, sau hữu hạn nhiều nước đi, có đúng một số nguyên $M$ trên bảng lớn hơn 1.
(b) Chứng minh rằng giá trị của $M$ không phụ thuộc vào sự lựa chọn của Khổng Tử.
Ở đây $\gcd(x,y)$ biểu thị ước số chung lớn nhất và $\operatorname{lcm}(x,y)$ là bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên dương $x,y$.