Đặt $n$ là số nguyên dương. Đặt $T$ là tập hợp các điểm $(x,y)$ trong mặt phẳng trong đó $x$ và $y$ là các số nguyên không âm với $x+y\lt n$. Mỗi điểm của $T$ có màu đỏ hoặc xanh lam, tuân theo điều kiện sau: nếu một điểm $(x,y)$ có màu đỏ thì tất cả các điểm $(x',y')$ của $T$ với $x'\leq x$ và $y'\leq y$ cũng vậy. Đặt $A$ là số cách chọn $n$ điểm màu xanh lam với tọa độ $x$ riêng biệt và đặt $B$ là số cách chọn $n$ điểm màu xanh lam với tọa độ $y$ riêng biệt. Chứng minh rằng $A=B$.
Gọi $BC$ là đường kính của đường tròn $\omega$ có tâm $O$. Giả sử $A$ là một điểm của đường tròn $\omega$ sao cho $0^\circ \lt \angle AOB \lt 120^\circ$. Gọi $D$ là trung điểm của cung $AB$ không chứa $C$. Đường $\ell$ đi qua $O$ và song song với đường $AD$. Đường $\ell$ cắt đường $AC$ tại $J$. đường trung trực của đoạn $OA$ cắt đường tròn $\omega$ tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng $J$ là tâm nội tiếp của tam giác $CEF$.
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $m, n \ge 3$ mà tồn tại vô số số nguyên dương $a$ sao cho $$
\frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1}
$$ bản thân nó là một số nguyên.
Giả sử $n \ge 2$ là số nguyên dương có ước số $1 = d_1 \lt d_2 \lt \dots \lt d_k = n$. Chứng minh rằng $d_1d_2 + d_2d_3 + \dots + d_{k-1} d_k$ luôn nhỏ hơn $n^2$ và xác định khi nào nó là ước của $n^2$.
Tìm tất cả các hàm số $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho $$
\left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)
= f(xy-zt)+f(xt+yz)
$$ cho mọi số thực $x$, $y$, $z$, $t$.
Đặt $n \ge 3$ là số nguyên dương. Cho $C_1$, $C_2$, …, $C_n$ lần lượt là các đường tròn đơn vị trong mặt phẳng, có tâm lần lượt là $O_1$, $O_2$, …, $O_n$. Nếu không có đường thẳng nào cắt nhiều hơn hai đường tròn, hãy chứng minh rằng $$
\sum_{1 \le i \lt j \le n } \frac{1}{O_i O_j}
\le \frac{(n-1)\pi}{4}.
$$