Cho bất kỳ tập hợp $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ nào gồm bốn số nguyên dương phân biệt, ta biểu thị tổng $a_1+a_2+a_3+a_4$ bằng $s_A$. Đặt $n_A$ biểu thị số cặp $(i,j)$ với $1 \le i \lt j \le 4$ mà $a_i + a_j$ là ước của $s_A$. Tìm tất cả các bộ $A$ gồm bốn số nguyên dương riêng biệt đạt giá trị lớn nhất có thể là $n_A$.
Cho $\mathcal{S}$ là tập hữu hạn có ít nhất hai điểm trên mặt phẳng. Giả sử không có ba điểm nào trong $\mathcal S$ thẳng hàng. *cối xay gió* là một quá trình bắt đầu bằng một đường $\ell$ đi qua một điểm $P \in \mathcal S$. Đường này quay theo chiều kim đồng hồ quanh *tâm quay* $P$ cho đến lần đầu tiên đường này gặp một số điểm khác thuộc về $\mathcal S$. Điểm này, $Q$, đảm nhận vai trò là tâm quay mới và đường bây giờ quay theo chiều kim đồng hồ quanh $Q$, cho đến khi nó gặp điểm tiếp theo thuộc $\mathcal S$. Quá trình này tiếp tục vô thời hạn.
Chứng tỏ rằng ta có thể chọn một điểm $P$ trong $\mathcal S$ và một đường $\ell$ đi qua $P$ sao cho cối xay gió thu được sử dụng mỗi điểm của $\mathcal S$ làm tâm quay vô số lần.
Giả sử $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là hàm số có giá trị thực được xác định trên tập hợp số thực thỏa mãn $$
f(x+y) \leq yf(x) + f(f(x))
$$ cho tất cả các số thực $x$ và $y$. Chứng minh rằng $f(x) = 0$ với mọi $x \leq 0$.
Đặt $n \gt 0$ là một số nguyên. Theo giả thiết ta có một chiếc cân và $n$ quả cân có trọng lượng $2^0$, $2^1$, …, $2^{n-1}$. Ta đặt lần lượt từng quả trong $n$ quả cân lên cân lần lượt sao cho đĩa bên phải không bao giờ nặng hơn đĩa bên trái. Ở mỗi bước, ta chọn một trong các quả cân chưa được đặt lên cân và đặt nó lên đĩa bên trái hoặc đĩa bên phải cho đến khi tất cả các quả cân đã được đặt xong. Hãy xác định số cách có thể thực hiện được điều này.
Đặt $f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_{\gt 0}$ là một hàm số sao cho $f(m-n) \mid f(m) - f(n)$ cho $m,n \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng nếu $m,n \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $f(m) \le f(n)$ thì $f(m) \mid f(n)$.
Cho $ABC$ là một tam giác nhọn với đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$. Đặt $\ell$ là đường tiếp tuyến với $\Gamma$ và đặt $\ell_a$, $\ell_b$, $\ell_c$ là các đường thu được bằng cách đối xứng $\ell$ trong các đường $BC$, $CA$ và $AB$ tương ứng. Chứng tỏ rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác xác định bởi các đường thẳng $\ell_a$, $\ell_b$ và $\ell_c$ tiếp xúc với đường tròn $\Gamma$.