Ta nói rằng tập hợp hữu hạn $\mathcal{S}$ các điểm trong mặt phẳng là *cân bằng* nếu, với hai điểm bất kỳ khác nhau $A$ và $B$ trong $\mathcal{S}$, có một điểm $C$ trong $\mathcal{S}$ sao cho $AC=BC$. Ta nói rằng $\mathcal{S}$ *không tâm* nếu với ba điểm bất kỳ $A$, $B$ và $C$ trong $\mathcal{S}$, không có điểm $P$ nào trong $\mathcal{S}$ sao cho $PA=PB=PC$.
(a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n\ge 3$, tồn tại một tập cân bằng gồm $n$ điểm.
(b) Xác định tất cả các số nguyên $n\ge 3$ tồn tại tập cân bằng không tâm gồm $n$ điểm.
Tìm tất cả các số nguyên dương $a$, $b$, $c$ sao cho mỗi $ab-c$, $bc-a$, $ca-b$ là lũy thừa của $2$ (có thể bao gồm $2^0=1$). lũy thừa của 2 là số nguyên có dạng $2^r$ đối với số nguyên không âm $r$.
Cho $ABC$ là một tam giác nhọn với $AB \gt AC$. Đặt $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp, $H$ của nó là trực tâm và $F$ là chân đường cao tính từ $A$. Đặt $M$ là trung điểm của $\overline{BC}$. Đặt $Q$ là điểm trên $\Gamma$ sao cho $\angle HQA = 90^\circ$ và đặt $K$ là điểm trên $\Gamma$ sao cho $\angle HKQ = 90^\circ$. Giả sử rằng các điểm $A$, $B$, $C$, $K$ và $Q$ đều khác nhau và nằm trên $\Gamma$ theo thứ tự này. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác $KQH$ và $FKM$ tiếp xúc nhau.
Tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $\Omega$ và tâm ngoại tiếp $O$. Đường tròn $\Gamma$ có tâm $A$ cắt đoạn $BC$ tại các điểm $D$ và $E$, sao cho $B,D,E,C$ đều khác nhau và nằm trên đường thẳng $BC$ theo thứ tự này. Đặt $F$ và $G$ là giao điểm của $\Gamma$ và $\Omega$, sao cho $A,F,B,C,G$ nằm trên $\Omega$ theo thứ tự này. Gọi $K$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp của tam giác $BDF$ và đoạn $AB$. Gọi $L$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp của tam giác $CGE$ và đoạn $CA$.
Giả sử rằng các đường $FK$ và $GL$ khác nhau và cắt nhau tại điểm $X$. Chứng minh rằng $X$ nằm trên đường thẳng $AO$.
Giải phương trình hàm $$
f(x+f(x+y)) + f(xy) = x + f(x+y) + yf(x)
$$ cho $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Phương trình phải đúng cho tất cả các số thực $x,y$.
dãy $a_1,a_2,\dots$ của số nguyên thỏa mãn điều kiện:
(i) $1\le a_j\le2015$ cho tất cả $j\ge1$,
(ii) $k+a_k\neq \ell+a_\ell$ cho tất cả $1\le k\lt \ell$.
Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương $b$ và $N$ sao cho $$
\left\lvert\sum_{j=m+1}^n (a_j-b) \right\rvert \le 1007^2
$$ với mọi số nguyên $m$ và $n$ sao cho $n \gt m\ge N$.