Trò chơi quadratic solitaire dành cho một người chơi. Ban đầu, người chơi chọn hai số nguyên khác nhau và khác 0 là $a$ và $b$, rồi viết phương trình $x^{2}+ax+b=0$ lên bảng. Ở mỗi lượt, nếu phương trình trên bảng có hai nghiệm nguyên khác nhau và khác 0 là $x=u$ và $x=v$, người chơi xóa phương trình đó và thay bằng một trong hai phương trình $x^{2}+ux+v=0$ hoặc $x^{2}+vx+u=0$, tùy ý. Nếu không, trò chơi kết thúc.
Tìm tất cả các cách chọn a và b ban đầu để trò chơi có thể tiếp diễn mãi mãi.
Kí hiệu $\mathbb{Z}_{\geq 0}$ là tập các số nguyên không âm. Cho hàm không bị chặn $f: \mathbb{Z}_{\geq 0} \to \mathbb{Z}_{\geq 0}$ sao cho, với hai số nguyên không âm $m$ và $n$, nếu
Cho $S$ là một tập số nguyên dương, có thể vô hạn, sao cho không có số nguyên dương lớn hơn 1 nào chia hết tất cả các phần tử của $S$. Tìm tất cả các dãy vô hạn không tuần hoàn $a_1, a_2, a_3, \ldots$ gồm các số nguyên dương sao cho với mọi số nguyên dương $n$:
• $ a_n \leq |a_{n+\ell} - \ell| $ với mọi $ \ell $ thuộc $ S $; và
• $ a_{n} = |a_{n+\ell} - \ell| $ với ít nhất một $ \ell $ thuộc S.
Dãy vô hạn $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số nguyên dương $t$ sao cho $a_{n} = a_{n+t}$ với mọi số nguyên dương $n$.
Với mỗi số nguyên $ k \geq 3 $, chứng minh rằng tồn tại duy nhất bộ $ (x_1, x_2, \ldots, x_k) $ gồm các số thực dương sao cho $ x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_k $ và
Tim và Tam chơi một trò chơi. Ban đầu, Tim viết lên bảng một số số thực khác 0, không nhất thiết khác nhau. Ở mỗi lượt:
• Trước tiên, Tam chọn đa thức $ P_{k}(x) = a_{k}x^{k} + a_{k-1}x^{k-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0} $, trong đó các hệ số $ a_{k}, a_{k-1}, \ldots, a_{1}, a_{0} $ là toàn bộ các số đang có trên bảng, được sắp xếp theo một thứ tự nào đó. Ví dụ, nếu bảng có các số 4, -3, 4 thì k = 2 và Tam có thể chọn $ 4x^{2} - 3x + 4 $ hoặc $ -3x^{2} + 4x + 4 $, nhưng không được chọn $ 4x - 3 $ hoặc $ -3x^{2} - 3x + 4 $.
• Sau đó, nếu phương trình $P_{k}(x)=0$ không có nghiệm thực, trò chơi dừng. Nếu có, Tim chọn một số thực $r$ thỏa mãn $P_{k}(r)=0$ và viết lên bảng, nên số lượng số trên bảng tăng thêm một.
Xác định xem Tim có thể bảo đảm trò chơi không bao giờ dừng, bất kể Tam chơi như thế nào, hay không.
Cho số nguyên $n \geqslant 3$. Gọi $S_n$ là tập các điểm $(x, y)$ trong mặt phẳng sao cho $x$, $y$ là các số nguyên không âm và $x + y \lt n$. Một đường thẳng trong mặt phẳng được gọi là thú vị nếu nó không song song với trục $x$, trục $y$, hoặc đường thẳng $x + y = 0$.
Tìm tất cả các số nguyên không âm k sao cho tồn tại n đường thẳng thỏa mãn cả hai điều kiện:
• Hợp của $n$ đường thẳng chứa mọi điểm của $S_{n}$;
Có một hàng gồm $n$ bãi cỏ, được đánh số từ trái sang phải từ 1 đến $n$, với $n \geq 3$. Kangaroo Skippy ăn cỏ theo quy tắc sau:
Nếu Skippy đang ăn cỏ ở bãi $k$, nó thực hiện liên tiếp $k$ bước nhảy, mỗi bước từ một bãi sang bãi liền kề. Bước đầu tiên trong $k$ bước luôn hướng sang phải, trừ khi Skippy ở bãi $n$ thì hướng sang trái. Mỗi bước trong $k-1$ bước tiếp theo cùng hướng với bước trước, trừ khi Skippy đang ở bãi 1 hoặc $n$ thì đổi hướng. Skippy ăn cỏ ở bãi nó đến sau bước thứ $k^{\mathrm{th}}$.
Ví dụ, nếu n = 8 và Skippy đang ăn cỏ ở bãi 3, thì bốn bãi nó ăn tiếp theo lần lượt là 6, 4, 8 và 2.
Skippy tiếp tục như vậy mãi mãi. Một bãi được gọi là bị ăn quá mức nếu cuối cùng Skippy sẽ ăn ở bãi đó, bất kể nó bắt đầu ở bãi nào. Tìm tất cả các giá trị $ n \geq 3 $ để có đúng một bãi bị ăn quá mức.
Có 2025 quả bóng trắng và 2025 quả bóng đen xếp thành một hàng. Một đoạn cân bằng là một đoạn liên tiếp, khác rỗng, chứa số bóng trắng và bóng đen bằng nhau. Một lần loại bỏ cân bằng gồm việc chọn một đoạn cân bằng S, bỏ tất cả bóng trong S, rồi dịch sang trái các bóng ở bên phải S để các bóng còn lại tạo thành một hàng liên tiếp.
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $N$ có tính chất: với mọi cách xếp bóng và mọi số nguyên $k$ thỏa mãn $0 \leq k \leq 2025$, tồn tại một dãy gồm nhiều nhất $N$ lần loại bỏ cân bằng, sau đó còn đúng $2k$ quả bóng.
Bluey đặt kẹo lên một bảng ô vuông $ 1000 \times 1000 $. Ban đầu mọi ô đều trống. Ở mỗi bước, Bluey chọn một hàng hoặc cột có tổng số kẹo là bội của 3, chọn một ô trống trong hàng hoặc cột đó, rồi đặt một viên kẹo vào ô. Nếu không còn hàng hoặc cột phù hợp, Bluey dừng lại.
Cho số nguyên dương $n$ và một bộ $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ gồm $n$ số nguyên khác nhau. Một nghịch thế là cặp số nguyên $(i, j)$ thỏa mãn $1 \leq i \lt j \leq n$ và $a_i \gt a_j$. Nghịch thế $(i, j)$ được gọi là $\text{lẻ}$ nếu $j - i$ lẻ. Gọi $A$ là tổng số nghịch thế và $B$ là số nghịch thế lẻ.
(a) Chứng minh $A \leq 5B$ với mọi $n$ và mọi bộ $n$ số $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$.
(b) Chứng minh tồn tại n và một bộ n số $ (a_1, a_2, \ldots, a_n) $ sao cho A > 4.99B.
Có một con thú lông nhím trên bảng ô vuông $ 45 \times 45 $. Từ mỗi ô, nó có thể đi sang bất kỳ ô nào chung cạnh với ô đó. Nó thực hiện 2024 bước đi và đã ghé mỗi ô đúng một lần. Chứng minh rằng có thể điền các số từ 1 đến 2025, mỗi ô một số, sao cho:
• Với mỗi cặp ô kề nhau trong cùng một hàng, ô chứa số lớn hơn được ghé sớm hơn.
• Với mỗi cặp ô kề nhau trong cùng một cột, ô chứa số lớn hơn được ghé muộn hơn.
Xét bảng $ 2025 \times 2025 $ gồm các ô vuông đơn vị. Đặt lên bảng một số miếng hình chữ nhật, có thể khác kích thước, sao cho mỗi cạnh của mỗi miếng nằm trên một đường kẻ ô và mỗi ô đơn vị được phủ bởi nhiều nhất một miếng.
Tìm số miếng nhỏ nhất cần đặt để mỗi hàng và mỗi cột có đúng một ô đơn vị không được phủ bởi miếng nào.
Cho tam giác $ABC$ có góc $\angle A$ tù. Lấy $D$ và $E$ lần lượt trên các cạnh $AB$ và $AC$ sao cho tứ giác $BDEC$ nội tiếp. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt cạnh $BC$ tại hai điểm $X$ và $Y$, với $B, X, Y$ và $C$ theo thứ tự đó. Gọi các đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDX$ và $CEY$ lần lượt là $\Omega$ và $\Gamma$. Lấy điểm $P$ sao cho $PD$ tiếp xúc với $\Omega$ và $PE$ tiếp xúc với $\Gamma$. Lấy điểm $Q$ sao cho $QB$ tiếp xúc với $\Omega$ và $QC$ tiếp xúc với $\Gamma$.
Cho tam giác nhọn $ABC$. Gọi $I_B$ và $I_C$ lần lượt là các tâm bàng tiếp của tam giác $ABC$ đối diện $B$ và $C$. Lấy điểm $E$ trên đường thẳng $BA$ sao cho $\angle EI_B B = 90^\circ$. Lấy điểm $F$ trên đường thẳng $CA$ sao cho $\angle CI_C F = 90^\circ$. Đường tròn tâm $I_B$, bán kính $I_B E$, cắt đoạn $I_B B$ tại $X$. Đường tròn tâm $I_C$, bán kính $I_C F$, cắt đoạn $I_C C$ tại $Y$.
Chứng minh BY vuông góc với CX.
Tâm bàng tiếp của tam giác ABC đối diện đỉnh B là tâm đường tròn tiếp xúc với đoạn AC, tia BA ở phía ngoài A và tia BC ở phía ngoài C. Tâm bàng tiếp đối diện C được định nghĩa tương tự.
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB \lt AC$. Gọi $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Đường vuông góc từ $B$ tới $AC$ cắt lại $\Gamma$ tại $D \neq B$. Lấy $Q$ trên $\Gamma$ sao cho $Q \neq B$ và $AB = AQ$. Các đường thẳng $BQ$ và $AC$ cắt nhau tại $R$. Đường thẳng $DR$ cắt lại $\Gamma$ tại $S \neq D$. Đoạn $BC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $QRS$ tại $T$. Các đường thẳng $TQ$ và $RS$ cắt nhau tại $X$.
Cho hai đường tròn $\Omega$ và $\Gamma$ có tâm lần lượt là $M$ và $N$, trong đó bán kính $\Omega$ nhỏ hơn bán kính $\Gamma$. Hai đường tròn $\Omega$ và $\Gamma$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Đường thẳng $MN$ cắt $\Omega$ tại $C$, cắt $\Gamma$ tại $D$, sao cho các điểm $C, M, N$ và $D$ nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. Gọi $P$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ACD$. Đường thẳng $AP$ cắt lại $\Omega$ tại $E \neq A$. Đường thẳng $AP$ cắt lại $\Gamma$ tại $F \neq A$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $PMN$.
Chứng minh đường thẳng qua H song song với AP tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF.