Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 2003

Cho các số thực $a_{ij}$, $i=1,2,3$; $j=1,2,3$, sao cho $a_{ij}$ dương khi $i=j$ và âm khi $i\neq j$.

Chứng minh tồn tại các số thực dương $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ sao cho các số

$$ a_{11}c_{1}+a_{12}c_{2}+a_{13}c_{3},\qquad a_{21}c_{1}+a_{22}c_{2}+a_{23}c_{3},\qquad a_{31}c_{1}+a_{32}c_{2}+a_{33}c_{3} $$

đều âm, đều dương hoặc đều bằng không.

Tìm tất cả các hàm không giảm $ f\colon \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $ sao cho

(i) $ f(0)=0, f(1)=1; $

(ii) $ f(a) + f(b) = f(a)f(b) + f(a + b - ab) $ với mọi số thực a, b thỏa mãn a < 1 < b.

Xét các cặp dãy số thực dương

$$ a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq\cdots,\qquad b_{1}\geq b_{2}\geq b_{3}\geq\cdots $$

và các tổng

$$ A_{n}=a_{1}+\cdots+a_{n},\quad B_{n}=b_{1}+\cdots+b_{n};\qquad n=1,2,\ldots. $$

Với mỗi cặp, định nghĩa $ c_i = \min\{a_i, b_i\} $, $ C_n = c_1 + \cdots + c_n $, $ n = 1, 2, \ldots $.

(1) Có tồn tại cặp $(a_{i})_{i\geq1}$, $(b_{i})_{i\geq1}$ sao cho các dãy $(A_{n})_{n\geq1}$, $(B_{n})_{n\geq1}$ không bị chặn, còn dãy $(C_{n})_{n\geq1}$ bị chặn không?

(2) Câu trả lời phần (1) có thay đổi khi giả sử thêm $b_{i}=1/i$, $i=1,2,\ldots?$

Giải thích câu trả lời.

Cho số nguyên dương $n$ và các số thực $x_{1} \leq x_{2} \leq \cdots \leq x_{n}$.

(1) Chứng minh

$$ \left(\sum_{i,j=1}^{n}\left|x_{i}-x_{j}\right|\right)^{2}\leq\frac{2(n^{2}-1)}{3}\sum_{i,j=1}^{n}(x_{i}-x_{j})^{2}. $$

(2) Chứng minh dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x_{1}, \ldots, x_{n}$ lập thành cấp số cộng.

Gọi $\mathbb{R}^{+}$ là tập các số thực dương. Tìm tất cả các hàm $f\colon \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn các điều kiện:

(i) $$ f(x y z)+f(x)+f(y)+f(z)=f(\sqrt{x y})f(\sqrt{y z})f(\sqrt{z x}){\text{với mọi }}x,y,z\in\mathbb{R}^{+} $$

(ii) $ f(x) \lt f(y) $ với mọi $ 1 \leq x \lt y $.

Cho số nguyên dương $n$, và hai dãy số thực dương $(x_1, \ldots, x_n)$, $(y_1, \ldots, y_n)$. Giả sử $(z_2, \ldots, z_{2n})$ là dãy số thực dương sao cho

$$ z_{i+j}^{2}\geq x_{i}y_{j}\qquad\text{với mọi }1\leq i,j\leq n. $$

Đặt $ M = \max\{z_2, \ldots, z_{2n}\} $. Chứng minh

$$ \left(\frac{M+z_{2}+\cdots+z_{2n}}{2n}\right)^{2}\geq\left(\frac{x_{1}+\cdots+x_{n}}{n}\right)\left(\frac{y_{1}+\cdots+y_{n}}{n}\right). $$

Cho $A$ là tập con có 101 phần tử của $S = \{1,2,\ldots,1000000\}$. Chứng minh có các số $t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{100}$ thuộc $S$ sao cho các tập

$$ A_{j}=\{x+t_{j}\mid x\in A\},\qquad j=1,2,\ldots,100 $$

đôi một rời nhau.

Cho $D_{1}, \ldots, D_{n}$ là các hình tròn đóng trong mặt phẳng. (Hình tròn đóng là miền giới hạn bởi một đường tròn, gồm cả đường tròn ấy.) Giả sử mỗi điểm thuộc nhiều nhất 2003 hình tròn $D_{i}$. Chứng minh có hình tròn $D_{k}$ giao với nhiều nhất $7\cdot2003-1$ hình tròn khác $D_{i}$.

Cho số nguyên $n \geq 5$. Tìm số nguyên lớn nhất $k$ sao cho có một đa giác $n$ đỉnh, có thể lồi hoặc không, với đường biên không tự cắt, có $k$ góc trong vuông.

Cho các số thực $x_{1}, \ldots, x_{n}$, $y_{1}, \ldots, y_{n}$. Gọi $A = (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$ là ma trận có các phần tử

$$ a_{ij}=\begin{cases}1,&\text{nếu } x_{i}+y_{j}\geq0;\\0,&\text{nếu } x_{i}+y_{j} \lt 0.\end{cases} $$

Giả sử $B$ là ma trận $n \times n$ có các phần tử 0, 1, sao cho tổng các phần tử ở mỗi hàng và mỗi cột của $B$ bằng tổng tương ứng của ma trận $A$. Chứng minh $A = B$.

Mỗi điểm có tọa độ nguyên trong mặt phẳng là tâm một hình tròn bán kính 1/1000.

(1) Chứng minh tồn tại tam giác đều có các đỉnh thuộc những hình tròn khác nhau.

(2) Chứng minh mọi tam giác đều có đỉnh thuộc những hình tròn khác nhau đều có cạnh lớn hơn 96.

Gọi $f(k)$ là số các số nguyên $n$ thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) $ 0 \leq n \lt 10^k $, tức n có đúng k chữ số trong hệ thập phân, cho phép chữ số 0 đứng đầu;

(ii) Có thể hoán vị các chữ số của n để được một số nguyên chia hết cho 11.

Chứng minh $ f(2m) = 10f(2m - 1) $ với mọi số nguyên dương m.

Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$. Gọi $P, Q, R$ là các chân đường vuông góc từ $D$ đến các đường thẳng $BC, CA, AB$, tương ứng. Chứng minh $PQ = QR$ khi và chỉ khi các đường phân giác của $\angle ABC$, $\angle ADC$ và $AC$ đồng quy.

Ba điểm phân biệt $A$, $B$, $C$ cố định trên một đường thẳng theo thứ tự ấy. Cho đường tròn $\Gamma$ qua $A$, $C$, có tâm không nằm trên đường thẳng $AC$. Gọi $P$ là giao điểm của các tiếp tuyến với $\Gamma$ tại $A$, $C$. Giả sử $\Gamma$ cắt đoạn $PB$ tại $Q$. Chứng minh giao điểm của đường phân giác $\angle AQC$ với đường thẳng $AC$ không phụ thuộc vào cách chọn $\Gamma$.

Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ trong tam giác. Gọi $D$, $E$, $F$ là chân các đường vuông góc từ $P$ đến các đường thẳng $BC$, $CA$, $AB$, tương ứng. Giả sử

$$ AP^{2}+PD^{2}=BP^{2}+PE^{2}=CP^{2}+PF^{2}. $$

Gọi $ I_{A} $, $ I_{B} $, $ I_{C} $ là các tâm bàng tiếp của tam giác ABC. Chứng minh P là tâm ngoại tiếp tam giác $ I_{A}I_{B}I_{C} $.

Cho các đường tròn phân biệt $\Gamma_{1}$, $\Gamma_{2}$, $\Gamma_{3}$, $\Gamma_{4}$, sao cho $\Gamma_{1}$, $\Gamma_{3}$ tiếp xúc ngoài tại $P$, và $\Gamma_{2}$, $\Gamma_{4}$ tiếp xúc ngoài tại cùng điểm $P$. Giả sử $\Gamma_{1}$ và $\Gamma_{2}$; $\Gamma_{2}$ và $\Gamma_{3}$; $\Gamma_{3}$ và $\Gamma_{4}$; $\Gamma_{4}$ và $\Gamma_{1}$ cắt nhau lần lượt tại $A$, $B$, $C$, $D$, và tất cả những điểm này khác $P$.

Chứng minh

$$ \frac{AB\cdot BC}{AD\cdot DC}=\frac{PB^{2}}{PD^{2}}. $$

Cho tam giác cân $ABC$, với $AC = BC$, có tâm nội tiếp $I$. Cho điểm $P$ trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB$, nằm trong tam giác $ABC$. Các đường thẳng qua $P$, song song với $CA$, $CB$, cắt $AB$ tại $D$, $E$, tương ứng. Đường thẳng qua $P$, song song với $AB$, cắt $CA$, $CB$ tại $F$, $G$, tương ứng. Chứng minh các đường thẳng $DF$, $EG$ cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Mỗi cặp cạnh đối của một lục giác lồi có tính chất sau:

Khoảng cách giữa các trung điểm bằng $\sqrt{3}/2$ lần tổng độ dài hai cạnh.

Chứng minh mọi góc của lục giác bằng nhau.

Cho tam giác $ABC$, có nửa chu vi $s$, bán kính nội tiếp $r$. Vẽ các nửa đường tròn đường kính $BC$, $CA$, $AB$ ở ngoài tam giác $ABC$. Đường tròn tiếp xúc cả ba nửa đường tròn có bán kính $t$. Chứng minh

$$ \frac{s}{2} \lt t\leq\frac{s}{2}+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)r. $$

Cho số nguyên m cố định lớn hơn 1. Dãy $ x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots $ được định nghĩa như sau:

$$ x_{i}=\begin{cases}2^{i},&\text{nếu }0\leq i\leq m-1;\\\sum_{j=1}^{m}x_{i-j},&\text{nếu } i\geq m.\end{cases} $$

Tìm k lớn nhất sao cho dãy chứa k số hạng liên tiếp chia hết cho m.