Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 1979

(BEL 1) Chứng minh rằng trong mặt phẳng Euclid, mọi đa giác đều có số cạnh chẵn đều có thể chia thành các hình thoi. (Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau).

(BEL 4) Từ một túi chứa $5$ đôi tất, mỗi đôi có một màu khác nhau, lấy ngẫu nhiên $4$ chiếc tất riêng lẻ. Mỗi đôi đủ hai chiếc trong mẫu được bỏ đi và thay bằng hai chiếc mới lấy từ túi. Quá trình tiếp tục cho đến khi túi rỗng hoặc bên ngoài túi có $4$ chiếc tất khác màu. Xác suất của khả năng thứ hai là bao nhiêu?

(BUL 1) Tìm mọi đa thức $f(x)$ có hệ số thực sao cho
$$f(x)f(2x^2)=f(2x^3+x).$$

(BUL 3) IMO2. Cho lăng trụ ngũ giác $A_1A_2\ldots A_5B_1B_2\ldots B_5$. Các cạnh, các đường chéo của mặt bên và các đường chéo bên trong lăng trụ đều được tô đỏ hoặc xanh sao cho không có tam giác nào có các đỉnh là đỉnh của lăng trụ mà cả ba cạnh cùng màu. Chứng minh rằng mọi cạnh của hai đáy đều cùng màu.

(CZS 2) Cho số nguyên $n\ge2$. Tìm số phần tử lớn nhất của tập $M$ gồm các cặp số nguyên $(j,k)$, $1\le j\lt k\le n$, có tính chất sau: Nếu $(j,k)\in M$ thì $(k,m)\notin M$ với mọi $m$.

(CZS 4) Tìm các giá trị thực của $p$ để phương trình
$$\sqrt{2p+1-x^2}+\sqrt{3x+p+4}=\sqrt{x^2+9x+3p+9}$$
theo $x$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt ($\sqrt t$ là căn bậc hai dương của $t$).

(FRG 1) IMO1. Biết rằng $1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots-\frac1{1318}+\frac1{1319}=\frac pq$, trong đó $p$ và $q$ là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, chứng minh rằng $p$ chia hết cho $1979$.

(FRG 3) Với mọi số hữu tỉ $x$ thỏa mãn $0\le x\lt 1$, hàm $f$ được xác định bởi
$$f(x)=\begin{cases}f(2x)/4,&0\le x\lt 1/2,\\3/4+f(2x-1)/4,&1/2\le x\lt 1.\end{cases}$$
Biết rằng $x=0.b_1b_2b_3\ldots$ là biểu diễn nhị phân của $x$, hãy tìm $f(x)$.

(FRG 4) IMO6. Cho $S$ và $F$ là hai đỉnh đối diện của một bát giác đều. Một quân bắt đầu tại $S$ và mỗi giây chuyển đến một trong hai đỉnh kề của bát giác. Hướng chuyển được quyết định bằng cách tung đồng xu. Quá trình dừng khi quân đến $F$. Gọi $a_n$ là số đường đi khác nhau kéo dài $n$ giây mà quân có thể đi đến $F$ từ $S$. Chứng minh rằng với $n=1,2,3,\ldots$,
$$a_{2n-1}=0,\qquad a_{2n}=\frac1{\sqrt2}(x^{n-1}-y^{n-1}),\qquad x=2+\sqrt2,\quad y=2-\sqrt2.$$

(FIN 3) Chứng minh rằng với mọi vectơ $a,b$ trong không gian Euclid,
$$|a\times b|^3\le\frac{3\sqrt3}{8}|a|^2|b|^2|a-b|^2.$$
Nhận xét. Ở đây $\times$ là tích có hướng.

(GDR 1) Cho các số thực $x_1,x_2,\ldots,x_n$ ($n\ge2$), với $x_i\ge1/n$ ($i=1,2,\ldots,n$) và $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$. Tích $P=x_1x_2x_3\cdots x_n$ có giá trị lớn nhất và/hoặc nhỏ nhất không? Nếu có, hãy tìm các giá trị ấy.

(GDR 3) Cho tập $R$ có đúng $6$ phần tử. Một tập $F$ gồm các tập con của $R$ được gọi là họ S trên $R$ khi và chỉ khi thỏa mãn ba điều kiện:
(i) Không có hai tập $X,Y$ trong $F$ sao cho $X\subseteq Y$;
(ii) Với ba tập bất kỳ $X,Y,Z$ trong $F$, $X\cup Y\cup Z\ne R$;
(iii) $\bigcup_{X\in F}X=R$.
Gọi $|F|$ là số phần tử của $F$ (tức số tập con của $R$ thuộc $F$). Hãy xác định, nếu tồn tại, $h=\max|F|$, trong đó lấy cực đại trên mọi họ S trên $R$.

(GRE 1) Chứng minh rằng $\frac{20}{60}\lt \sin20^\circ\lt \frac{21}{60}$.

(GRE 5) Tìm tất cả các cơ số lôgarit mà với cơ số ấy một số thực dương có thể bằng lôgarit của chính nó, hoặc chứng minh rằng không có cơ số nào.

(ISR 2) IMO5. Các số thực không âm $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,a$ thỏa mãn
$$\sum_{i=1}^5ix_i=a,\qquad\sum_{i=1}^5i^3x_i=a^2,\qquad\sum_{i=1}^5i^5x_i=a^3.$$
Các giá trị có thể của $a$ là gì?

(ISR 4) Gọi $K$ là tập $\{a,b,c,d,e\}$. $F$ là họ gồm $16$ tập con khác nhau của $K$, và biết rằng ba tập bất kỳ trong $F$ có ít nhất một phần tử chung. Chứng minh rằng cả $16$ tập trong $F$ có đúng một phần tử chung.

(NET 1) Trong tam giác đều $ABC$, dựng các điểm $P,Q,R$ sao cho
$$\angle QAB=\angle PBA=15^\circ,\qquad\angle RBC=\angle QCB=20^\circ,\qquad\angle PCA=\angle RAC=25^\circ.$$
Tìm các góc của tam giác $PQR$.

(POL 1) Cho $m$ số nguyên dương $a_1,\ldots,a_m$. Chứng minh rằng tồn tại ít hơn $2^m$ số nguyên dương $b_1,\ldots,b_n$ sao cho mọi tổng của các $b_k$ phân biệt đều khác nhau và mọi $a_i$ ($i\le m$) đều xuất hiện trong các tổng ấy.

(ROM 1) Xét các dãy $(a_n),(b_n)$ được xác định bởi
$$a_1=3,\qquad b_1=100,\qquad a_{n+1}=3^{a_n},\qquad b_{n+1}=100^{b_n}.$$
Tìm số nguyên $m$ nhỏ nhất sao cho $b_m\gt a_{100}$.

(SWE 2) Cho số nguyên $n\gt 1$ và số thực $a\gt 0$, tìm giá trị lớn nhất của $\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}$ trên mọi số không âm $x_i$ có tổng bằng $a$.