(PHI 3) Cho $ABC$ là một tam giác bất kỳ và $P$ là một điểm bất kỳ ở bên trong. Gọi $P_1,P_2$ là chân các đường vuông góc từ $P$ xuống hai cạnh $AC$ và $BC$. Vẽ $AP$ và $BP$, rồi từ $C$ hạ các đường vuông góc xuống $AP$ và $BP$. Gọi $Q_1$ và $Q_2$ là chân các đường vuông góc này. Chứng minh rằng các đường thẳng $Q_1P_2$, $Q_2P_1$ và $AB$ đồng quy.
(JAP 5) Với tam giác nhọn $ABC$, $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$, $P$ là điểm trên đoạn $AM$ sao cho $PM=BM$, $H$ là chân đường vuông góc từ $P$ xuống $BC$, $Q$ là giao điểm của đoạn $AB$ và đường thẳng qua $H$ vuông góc với $PB$, và cuối cùng, $R$ là giao điểm của đoạn $AC$ và đường thẳng qua $H$ vuông góc với $PC$.
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp $\triangle QHR$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại điểm $H$.
(PRK 1) Gọi $S$ là một điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle PQR$. Khi đó chân các đường vuông góc từ $S$ xuống ba cạnh của tam giác nằm trên cùng một đường thẳng. Ký hiệu đường thẳng này là $l(S,PQR)$. Giả sử lục giác $ABCDEF$ nội tiếp một đường tròn. Chứng minh rằng bốn đường thẳng $l(A,BDF)$, $l(B,ACE)$, $l(D,ABF)$ và $l(E,ABC)$ cắt nhau tại một điểm khi và chỉ khi $CDEF$ là hình chữ nhật.
(FRA 2) IMO5 Cho $ABC$ là một tam giác và $M$ là một điểm ở bên trong $ABC$. Chứng minh rằng ít nhất một trong các góc $\angle MAB$, $\angle MBC$ và $\angle MCA$ nhỏ hơn hoặc bằng $30^\circ$.
(SPA 4) Trong tam giác $ABC$ có $\angle A=60^\circ$, đường thẳng $IF$ song song với $AC$ được vẽ qua tâm đường tròn nội tiếp $I$ của tam giác, trong đó $F$ nằm trên cạnh $AB$. Điểm $P$ trên cạnh $BC$ thỏa mãn $3BP=BC$. Chứng minh rằng $\angle BFP=\angle B/2$.
(USS 4) IMO1 Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$, ta có bất đẳng thức
$$\frac14\lt \frac{IA\cdot IB\cdot IC}{l_A l_B l_C}\le\frac8{27},$$
trong đó $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $l_A,l_B,l_C$ là độ dài các đường phân giác của $ABC$.
(CHN 2) Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$. Gọi $L,M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$, và giả sử $AB+BC=AD+CD$, $BC+CA=BD+AD$ và $CA+AB=CD+BD$. Chứng minh rằng $\angle LOM=\angle MON=\angle NOL$.
(NET 1) Cho $S$ là một tập gồm $n$ điểm trong mặt phẳng. Không có ba điểm nào của $S$ thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại tập $P$ gồm $2n-5$ điểm thỏa mãn điều kiện sau: Bên trong mỗi tam giác có ba đỉnh là các phần tử của $S$ đều có một điểm là phần tử của $P$.
(FRA 3) Trong mặt phẳng cho một tập $E$ gồm 1991 điểm, và một số cặp điểm trong số đó được nối với nhau bằng một đường đi. Giả sử với mỗi điểm của $E$, có ít nhất 1593 điểm khác của $E$ được nối với nó bằng một đường đi. Chứng minh rằng tồn tại sáu điểm của $E$ mà mỗi cặp đều được nối với nhau bằng một đường đi.
Phiên bản khác. Có thể tìm được một tập $E$ gồm 1991 điểm trong mặt phẳng và các đường đi nối một số cặp điểm của $E$ sao cho mỗi điểm của $E$ được nối bằng một đường đi với ít nhất 1592 điểm khác của $E$, và trong mỗi tập con gồm sáu điểm của $E$ đều có ít nhất hai điểm không được nối với nhau hay không?
(USA 5) IMO4 Giả sử $G$ là một đồ thị liên thông có $n$ cạnh. Chứng minh rằng có thể gán nhãn các cạnh của $G$ từ 1 đến $n$ sao cho tại mỗi đỉnh $v$ của $G$ có ít nhất hai cạnh kề, tập các số gán cho những cạnh đó không có ước chung nào lớn hơn 1.
(CHN 3) IMO3 Cho $S=\{1,2,3,\ldots,280\}$. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất $n$ sao cho trong mọi tập con gồm $n$ phần tử của $S$ đều có năm số đôi một nguyên tố cùng nhau.
(POL 4) Cho một số nguyên bất kỳ $n\ge2$, giả sử các số nguyên $a_1,a_2,\ldots,a_n$ không chia hết cho $n$ và hơn nữa, $n$ không là ước của $a_1+a_2+\cdots+a_n$. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $n$ dãy phân biệt $(e_1,e_2,\ldots,e_n)$ gồm các số không hoặc một sao cho $e_1a_1+e_2a_2+\cdots+e_na_n$ chia hết cho $n$.
(POL 3) Cho $a,b,c$ là các số nguyên và $p$ là một số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng nếu $f(x)=ax^2+bx+c$ là số chính phương với $2p-1$ giá trị nguyên liên tiếp của $x$ thì $p$ là ước của $b^2-4ac$.
(USS 2) Gọi $a_n$ là chữ số khác không cuối cùng trong biểu diễn thập phân của số $n!$. Dãy $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ có trở thành tuần hoàn sau một số hữu hạn số hạng hay không?
(ROM 1) IMO2 Cho $n>6$ và $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_k$ là tất cả các số tự nhiên nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Chứng minh rằng nếu $a_1,a_2,\ldots,a_k$ là một cấp số cộng thì $n$ là số nguyên tố hoặc một lũy thừa với số mũ tự nhiên của hai.
(IRE 3) Gọi $\alpha$ là nghiệm dương của phương trình $x^2=1991x+1$. Với các số tự nhiên $m,n$, định nghĩa
$$m*n=mn+[\alpha m][\alpha n],$$
trong đó $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $p,q,r$,
$$(p*q)*r=p*(q*r).$$