Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 1977

(BUL 2) IMO6. Cho hàm số $f:\mathbb N\to\mathbb N$ thỏa mãn bất đẳng thức $f(n+1)>f(f(n))$ với mọi $n\in\mathbb N$. Chứng minh rằng $f(n)=n$ với mọi số tự nhiên $n$.

(CZS 1) Một điểm nguyên trong mặt phẳng là điểm có cả hai tọa độ là số nguyên. Mỗi điểm nguyên có bốn điểm láng giềng: phía trên, phía dưới, bên trái và bên phải. Cho đường tròn $k$ có bán kính $r\ge2$ và không đi qua điểm nguyên nào. Một điểm biên trong là điểm nguyên nằm trong đường tròn $k$ có một điểm láng giềng nằm ngoài $k$. Tương tự, một điểm biên ngoài là điểm nguyên nằm ngoài đường tròn $k$ có một điểm láng giềng nằm trong $k$. Chứng minh rằng số điểm biên ngoài nhiều hơn số điểm biên trong đúng bốn điểm.

(FRG 1) IMO5. Cho $a$ và $b$ là các số tự nhiên, và gọi $q$, $r$ lần lượt là thương và số dư khi chia $a^2+b^2$ cho $a+b$. Tìm các số $a$ và $b$ nếu $q^2+r=1977$.

(FRG 4) Mô tả tất cả các hình đóng, bị chặn $\Phi$ trong mặt phẳng mà hai điểm bất kỳ của hình đều nối được bằng một nửa đường tròn nằm trong $\Phi$.

(FRG 5) Có $2^n$ từ độ dài $n$ trên bảng chữ cái $\{0,1\}$. Chứng minh rằng thuật toán sau sinh ra dãy $w_0,w_1,\ldots,w_{2^n-1}$ gồm tất cả các từ ấy, sao cho hai từ liên tiếp bất kỳ khác nhau đúng một chữ số.
(1) $w_0=00\ldots0$ (gồm $n$ chữ số không).
(2) Giả sử $w_{m-1}=a_1a_2\ldots a_n$, $a_i\in\{0,1\}$. Gọi $e(m)$ là số mũ của $2$ trong phân tích $n$ thành tích các thừa số nguyên tố, và đặt $j=1+e(m)$. Thay chữ số $a_j$ trong từ $w_{m-1}$ bằng $1-a_j$. Từ thu được là $w_m$.

(GDR 2) Cho $n$ là số nguyên dương. Hệ bất đẳng thức sau có bao nhiêu nghiệm nguyên $(i,j,k,l)$, $1\le i,j,k,l\le n$:
$$\begin{aligned}1&\le-j+k+l\le n\\1&\le i-k+l\le n\\1&\le i-j+l\le n\\1&\le i+j-k\le n\ ?\end{aligned}$$

(GBR 2) IMO4. Cho các hằng số thực $a,b,A,B$ và
$$f(x)=1-a\cos x-b\sin x-A\cos2x-B\sin2x.$$
Chứng minh rằng nếu $f(x)\ge0$ với mọi số thực $x$ thì
$$a^2+b^2\le2\qquad A^2+B^2\le1.$$

(GBR 4) Cho $S$ là tứ giác lồi $ABCD$ và $O$ là một điểm nằm trong nó. Chân các đường vuông góc từ $O$ xuống $AB,BC,CD,DA$ lần lượt là $A_1,B_1,C_1,D_1$. Chân các đường vuông góc từ $O$ xuống các cạnh của $S_i$, tức tứ giác $A_iB_iC_iD_i$, là $A_{i+1}B_{i+1}C_{i+1}D_{i+1}$, với $i=1,2,3$. Chứng minh rằng $S_4$ đồng dạng với $S$.

(HUN 1) Với những số nguyên dương $n$ nào tồn tại hai đa thức $f$ và $g$ có hệ số nguyên theo $n$ biến $x_1,x_2,\ldots,x_n$ sao cho đẳng thức sau được thỏa mãn:
$$\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=g(x_1^2,x_2^2,\ldots,x_n^2)?$$

(NET 2) IMO3. Cho $n$ là số nguyên lớn hơn $2$. Đặt $V=\{1+kn\mid k=1,2,\ldots\}$. Số $p\in V$ được gọi là bất khả phân tích trong $V$ nếu không thể tìm được các số $q_1,q_2\in V$ sao cho $q_1q_2=p$. Chứng minh rằng tồn tại số $N\in V$ có thể phân tích thành tích các thừa số bất khả phân tích trong $V$ theo nhiều hơn một cách.

(NET 3) Cho $n$ là số nguyên lớn hơn $1$. Định nghĩa
$$x_1=n,\quad y_1=1,\quad x_{i+1}=\left[\frac{x_i+y_i}{2}\right],\quad y_{i+1}=\left[\frac n{x_{i+1}}\right]\qquad i=1,2,\ldots,$$
trong đó $[z]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $z$. Chứng minh rằng
$$\min\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}=[\sqrt n].$$

(NET 4) IMO1. Trên các cạnh của hình vuông $ABCD$, dựng vào phía trong các tam giác đều $ABK,BCL,CDM,DAN$. Chứng minh rằng trung điểm của bốn đoạn thẳng $KL,LM,MN,NK$, cùng với trung điểm của tám đoạn thẳng $AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN$, là $12$ đỉnh của một thập nhị giác đều.

(POL 4) Cho $B$ là một tập gồm $k$ dãy, mỗi dãy có $n$ số hạng bằng $1$ hoặc $-1$. Tích của hai dãy như vậy $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ và $(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ được định nghĩa là $(a_1b_1,a_2b_2,\ldots,a_nb_n)$. Chứng minh rằng tồn tại một dãy $(c_1,c_2,\ldots,c_n)$ sao cho giao của $B$ với tập chứa tất cả các dãy thuộc $B$ nhân với $(c_1,c_2,\ldots,c_n)$ có nhiều nhất $k^2/2^n$ dãy.

(FIN 2′) Cho $E$ là một tập hữu hạn các điểm sao cho $E$ không nằm trong một mặt phẳng và không có ba điểm nào của $E$ thẳng hàng. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai khả năng sau xảy ra:
(i) $E$ chứa năm điểm là các đỉnh của một hình chóp lồi không có điểm chung nào khác với $E$;
(ii) có một mặt phẳng chứa đúng ba điểm của $E$.

(VIE 1) IMO2. Độ dài của một dãy hữu hạn được định nghĩa là số số hạng của dãy ấy. Xác định độ dài lớn nhất có thể có của một dãy hữu hạn thỏa mãn điều kiện sau: Tổng của mỗi bảy số hạng liên tiếp là âm, và tổng của mỗi mười một số hạng liên tiếp là dương.

(VIE 3) Cho $E$ là một tập gồm $n$ điểm trong mặt phẳng $(n\ge3)$ có tọa độ nguyên, sao cho ba điểm bất kỳ thuộc $E$ là các đỉnh của một tam giác không suy biến mà trọng tâm không có cả hai tọa độ là số nguyên. Xác định giá trị lớn nhất của $n$.