Câu hỏi 1
Đặt $\mathbb{Z}$ là tập hợp các số nguyên. Xác định tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ sao cho, với mọi số nguyên $a$ và $b$,
$$
f(2 a)+2 f(b)=f(f(a+b))
$$
$$
f(2 a)+2 f(b)=f(f(a+b))
$$
Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 2019
Đề thi
32 câu hỏi
Câu hỏi 2
Cho $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}$ là số thực thỏa mãn
$$
u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{2019}=0 \quad \text{ và } \quad u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots+u_{2019}^{2}=1
$$
Đặt $a=\min \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right)$ và $b=\max \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right)$. Chứng minh rằng
$$
a b \leqslant-\frac{1}{2019}
$$
$$
u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{2019}=0 \quad \text{ và } \quad u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots+u_{2019}^{2}=1
$$
Đặt $a=\min \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right)$ và $b=\max \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right)$. Chứng minh rằng
$$
a b \leqslant-\frac{1}{2019}
$$
Câu hỏi 3
Đặt $n \geqslant 3$ là một số nguyên dương và đặt $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ là một dãy tăng nghiêm ngặt của $n$ số thực dương có tổng bằng 2 . Đặt $X$ là tập con của $\{1,2, \ldots, n\}$ sao cho giá trị của
$$
\left|1-\sum_{i \in X} a_{i}\right|
$$
đạt giá trị nhỏ nhất. Chứng minh rằng tồn tại một dãy tăng nghiêm ngặt của $n$ số thực dương $\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)$ với tổng bằng 2 sao cho
$$
\sum_{i \in X} b_{i}=1
$$
$$
\left|1-\sum_{i \in X} a_{i}\right|
$$
đạt giá trị nhỏ nhất. Chứng minh rằng tồn tại một dãy tăng nghiêm ngặt của $n$ số thực dương $\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)$ với tổng bằng 2 sao cho
$$
\sum_{i \in X} b_{i}=1
$$
Câu hỏi 4
Cho $n \geqslant 2$ là số nguyên dương và $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ là số thực sao cho
$$
a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0
$$
Xác định tập $A$ bằng
$$
A=\left\{(i, j)\left|1 \leqslant i\lt j \leqslant n,\left|a_{i}-a_{j}\right| \geqslant 1\right\} .\right.
$$
Chứng minh rằng, nếu $A$ không rỗng thì
$$
\sum_{(i, j) \in A} a_{i} a_{j}\lt 0
$$
$$
a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0
$$
Xác định tập $A$ bằng
$$
A=\left\{(i, j)\left|1 \leqslant i\lt j \leqslant n,\left|a_{i}-a_{j}\right| \geqslant 1\right\} .\right.
$$
Chứng minh rằng, nếu $A$ không rỗng thì
$$
\sum_{(i, j) \in A} a_{i} a_{j}\lt 0
$$
Câu hỏi 5
Cho $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ là các số thực khác nhau. Chứng minh rằng
$$
\sum_{1 \leqslant i \leqslant n} \prod_{j \neq i} \frac{1-x_{i} x_{j}}{x_{i}-x_{j}}= \begin{cases}0, & \text{ nếu } n \text{ chẵn } \\ 1, & \text{ nếu } n \text{ lẻ }\end{cases}
$$
$$
\sum_{1 \leqslant i \leqslant n} \prod_{j \neq i} \frac{1-x_{i} x_{j}}{x_{i}-x_{j}}= \begin{cases}0, & \text{ nếu } n \text{ chẵn } \\ 1, & \text{ nếu } n \text{ lẻ }\end{cases}
$$
Câu hỏi 6
Đa thức $P(x, y, z)$ ba biến có hệ số thực thỏa mãn đẳng thức
$$
P(x, y, z)=P(x, y, x y-z)=P(x, z x-y, z)=P(y z-x, y, z) .
$$
Chứng minh rằng tồn tại đa thức $F(t)$ trong một biến sao cho
$$
P(x, y, z)=F\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y z\right) .
$$
$$
P(x, y, z)=P(x, y, x y-z)=P(x, z x-y, z)=P(y z-x, y, z) .
$$
Chứng minh rằng tồn tại đa thức $F(t)$ trong một biến sao cho
$$
P(x, y, z)=F\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y z\right) .
$$
Câu hỏi 7
Đặt $\mathbb{Z}$ là tập hợp các số nguyên. Xét các hàm số $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn
$$
f(f(x+y)+y)=f(f(x)+y)
$$
cho tất cả các số nguyên $x$ và $y$. Đối với hàm số như vậy, chúng ta nói rằng số nguyên $v$ là $f$-hiếm nếu tập hợp
$$
X_{v}=\{x \in \mathbb{Z}: f(x)=v\}
$$
là hữu hạn và không rỗng.
(a) Chứng minh rằng tồn tại một hàm số $f$ mà tồn tại một số nguyên $f$-hiếm.
(b) Chứng minh rằng không có hàm số $f$ nào có thể có nhiều hơn một số nguyên $f$-hiếm.
$$
f(f(x+y)+y)=f(f(x)+y)
$$
cho tất cả các số nguyên $x$ và $y$. Đối với hàm số như vậy, chúng ta nói rằng số nguyên $v$ là $f$-hiếm nếu tập hợp
$$
X_{v}=\{x \in \mathbb{Z}: f(x)=v\}
$$
là hữu hạn và không rỗng.
(a) Chứng minh rằng tồn tại một hàm số $f$ mà tồn tại một số nguyên $f$-hiếm.
(b) Chứng minh rằng không có hàm số $f$ nào có thể có nhiều hơn một số nguyên $f$-hiếm.
Câu hỏi 8
Dãy $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ vô hạn của các số nguyên (không nhất thiết phải khác nhau) có các thuộc tính sau: $0 \leqslant a_{i} \leqslant i$ cho tất cả các số nguyên $i \geqslant 0$, và
$$
\binom{k}{a_{0}}+\binom{k}{a_{1}}+\cdots+\binom{k}{a_{k}}=2^{k}
$$
cho mọi số nguyên $k \geqslant 0$.
Chứng minh rằng mọi số nguyên $N \geqslant 0$ đều xuất hiện trong dãy (nghĩa là với mọi $N \geqslant 0$ đều tồn tại $i \geqslant 0$ với $\left.a_{i}=N\right)$.
$$
\binom{k}{a_{0}}+\binom{k}{a_{1}}+\cdots+\binom{k}{a_{k}}=2^{k}
$$
cho mọi số nguyên $k \geqslant 0$.
Chứng minh rằng mọi số nguyên $N \geqslant 0$ đều xuất hiện trong dãy (nghĩa là với mọi $N \geqslant 0$ đều tồn tại $i \geqslant 0$ với $\left.a_{i}=N\right)$.
Câu hỏi 9
Bạn được cấp một $n$ khối, mỗi khối nặng ít nhất 1 ; tổng khối lượng của chúng là $2 n$. Chứng minh rằng với mọi số thực $r$ với $0 \leqslant r \leqslant 2 n-2$, bạn có thể chọn một tập hợp con của các khối có tổng khối lượng ít nhất là $r$ nhưng nhiều nhất là $r+2$.
Câu hỏi 10
Đặt $n$ là số nguyên dương. Harry có $n$ đồng xu được xếp trên bàn, mỗi đồng xu có một trong hai mặt: mặt ngửa hoặc mặt sấp. Anh ta liên tục thực hiện thao tác sau: nếu có $k$ đồng xu hiển thị mặt ngửa và $k\gt 0$, thì anh ta lật đồng xu thứ $k$; nếu không thì anh ta sẽ dừng quá trình này. (Ví dụ: quy trình bắt đầu bằng THT sẽ là THT $\rightarrow H H T \rightarrow H T T \rightarrow T T T$, thực hiện ba bước.)
Để $C$ biểu thị cấu hình ban đầu (dãy gồm $n H$ và $T$, nghĩa là n kí hiệu H hoặc T), hãy viết $\ell(C)$ cho số bước cần thiết trước khi tất cả các đồng xu hiển thị $T$. Chứng minh rằng số $\ell(C)$ này là hữu hạn và xác định giá trị trung bình của nó trên tất cả các cấu hình ban đầu có thể có của $2^{n}$ $C$.
Để $C$ biểu thị cấu hình ban đầu (dãy gồm $n H$ và $T$, nghĩa là n kí hiệu H hoặc T), hãy viết $\ell(C)$ cho số bước cần thiết trước khi tất cả các đồng xu hiển thị $T$. Chứng minh rằng số $\ell(C)$ này là hữu hạn và xác định giá trị trung bình của nó trên tất cả các cấu hình ban đầu có thể có của $2^{n}$ $C$.
Câu hỏi 11
Trên một mặt phẳng ở Camelot, Vua Arthur xây dựng một mê cung $\mathfrak{L}$ bao gồm $n$ bức tường,
mỗi đường thẳng đó là một đường thẳng vô hạn. Không có hai bức tường nào song song và không có ba bức tường nào có một điểm chung. Merlin sau đó sơn một mặt của mỗi bức tường hoàn toàn màu đỏ và mặt còn lại hoàn toàn màu xanh lam.
Tại giao điểm của hai bức tường có bốn góc: hai góc chéo nhau là nơi hai mặt đỏ và xanh gặp nhau, một góc là hai cạnh đỏ gặp nhau và một góc là hai cạnh xanh gặp nhau. Tại mỗi ngã tư như vậy đều có một cửa hai chiều nối hai góc đối diện chéo nhau, tại đó các cạnh có màu sắc khác nhau gặp nhau.
Sau khi Merlin sơn các bức tường, Morgana đặt một số các hiệp sĩ vào mê cung. các hiệp sĩ có thể đi qua cửa nhưng không thể đi xuyên tường.
Đặt $k(\mathfrak{L})$ là số lớn nhất $k$ sao cho dù Merlin có vẽ mê cung $\mathfrak{L}$ như thế nào đi chăng nữa, Morgana luôn có thể đặt ít nhất $k$ các hiệp sĩ sao cho không có hai người nào trong số họ có thể gặp nhau. Đối với mỗi $n$, tất cả các giá trị có thể có của $k(\mathfrak{L})$ là gì, trong đó $\mathfrak{L}$ là một mê cung có $n$ bức tường?
mỗi đường thẳng đó là một đường thẳng vô hạn. Không có hai bức tường nào song song và không có ba bức tường nào có một điểm chung. Merlin sau đó sơn một mặt của mỗi bức tường hoàn toàn màu đỏ và mặt còn lại hoàn toàn màu xanh lam.
Tại giao điểm của hai bức tường có bốn góc: hai góc chéo nhau là nơi hai mặt đỏ và xanh gặp nhau, một góc là hai cạnh đỏ gặp nhau và một góc là hai cạnh xanh gặp nhau. Tại mỗi ngã tư như vậy đều có một cửa hai chiều nối hai góc đối diện chéo nhau, tại đó các cạnh có màu sắc khác nhau gặp nhau.
Sau khi Merlin sơn các bức tường, Morgana đặt một số các hiệp sĩ vào mê cung. các hiệp sĩ có thể đi qua cửa nhưng không thể đi xuyên tường.
Đặt $k(\mathfrak{L})$ là số lớn nhất $k$ sao cho dù Merlin có vẽ mê cung $\mathfrak{L}$ như thế nào đi chăng nữa, Morgana luôn có thể đặt ít nhất $k$ các hiệp sĩ sao cho không có hai người nào trong số họ có thể gặp nhau. Đối với mỗi $n$, tất cả các giá trị có thể có của $k(\mathfrak{L})$ là gì, trong đó $\mathfrak{L}$ là một mê cung có $n$ bức tường?
Câu hỏi 12
Trên một mạng xã hội nào đó, có 2019 người dùng, một số trong số đó là bạn bè, trong đó tình bạn là một mối quan hệ đối xứng. Ban đầu, có 1010 người với 1009 bạn và 1009 người với 1010 bạn mỗi người. Tuy nhiên, tình bạn khá không ổn định, vì vậy các sự kiện thuộc loại sau có thể xảy ra liên tục, lần lượt:
Hãy để $A, B$ và $C$ là những người sao cho $A$ là bạn của cả $B$ và $C$, nhưng $B$ và $C$ không phải là bạn bè; sau đó $B$ và $C$ trở thành bạn bè, nhưng $A$ không còn là bạn với họ nữa.
Chứng minh rằng, bất kể tình bạn ban đầu là gì, vẫn tồn tại dãy các sự kiện như vậy mà sau đó mỗi người dùng là bạn của tối đa một người dùng khác.
Hãy để $A, B$ và $C$ là những người sao cho $A$ là bạn của cả $B$ và $C$, nhưng $B$ và $C$ không phải là bạn bè; sau đó $B$ và $C$ trở thành bạn bè, nhưng $A$ không còn là bạn với họ nữa.
Chứng minh rằng, bất kể tình bạn ban đầu là gì, vẫn tồn tại dãy các sự kiện như vậy mà sau đó mỗi người dùng là bạn của tối đa một người dùng khác.
Câu hỏi 13
Đặt $n\gt 1$ là một số nguyên. Giả sử chúng ta có $2n$ điểm trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Các điểm sẽ được gắn nhãn $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{2 n}$ theo thứ tự nào đó. Sau đó chúng tôi xem xét $2n$ góc $\angle A_{1} A_{2} A_{3}, \angle A_{2} A_{3} A_{4}, \ldots, \angle A_{2 n-2} A_{2 n-1} A_{2 n}, \angle A_{2 n-1} A_{2 n} A_{1}$, $\angle A_{2 n} A_{1} A_{2}$. Chúng tôi đo từng góc theo cách mang lại giá trị dương nhỏ nhất (tức là giữa $0^{\circ}$ và $180^{\circ}$ ). Chứng minh rằng tồn tại một thứ tự của các điểm đã cho sao cho $2n$ góc thu được có thể được tách thành hai nhóm với tổng của một nhóm góc bằng tổng của nhóm kia.
Nhận xét. Ba giải pháp đầu tiên đều sử dụng cùng một cấu trúc bao gồm một đường ngăn cách các điểm thành hai nhóm, mỗi nhóm có $n$ điểm, nhưng đưa ra các bằng chứng khác nhau cho thấy cấu trúc này hoạt động. Mặc dù Lời giải 1 rất ngắn nhưng Hội đồng tuyển chọn bài toán không tin rằng bất kỳ giải pháp nào là dễ tìm và do đó đánh giá đây là bài toán có độ khó trung bình.
Nhận xét. Ba giải pháp đầu tiên đều sử dụng cùng một cấu trúc bao gồm một đường ngăn cách các điểm thành hai nhóm, mỗi nhóm có $n$ điểm, nhưng đưa ra các bằng chứng khác nhau cho thấy cấu trúc này hoạt động. Mặc dù Lời giải 1 rất ngắn nhưng Hội đồng tuyển chọn bài toán không tin rằng bất kỳ giải pháp nào là dễ tìm và do đó đánh giá đây là bài toán có độ khó trung bình.
Câu hỏi 14
Có 60 hộp trống $B_{1}, \ldots, B_{60}$ xếp thành một hàng trên bàn và nguồn cung cấp sỏi không giới hạn. Cho một số nguyên dương $n$, Alice và Bob chơi trò chơi sau.
Ở vòng đầu tiên, Alice lấy $n$ viên sỏi và chia chúng vào 60 hộp theo ý muốn. Mỗi vòng tiếp theo bao gồm hai bước:
(a) Bob chọn một số nguyên $k$ với $1 \leqslant k \leqslant 59$ và chia các hộp thành hai nhóm $B_{1}, \ldots, B_{k}$ và $B_{k+1}, \ldots, B_{60}$.
(b) Alice chọn một trong hai nhóm này, thêm một viên sỏi vào mỗi hộp trong nhóm đó và lấy đi một viên sỏi khỏi mỗi hộp trong nhóm kia.
Bob thắng nếu ở cuối bất kỳ vòng nào, hộp nào đó không chứa sỏi. Tìm $n$ nhỏ nhất sao cho Alice có thể ngăn Bob thắng.
Ở vòng đầu tiên, Alice lấy $n$ viên sỏi và chia chúng vào 60 hộp theo ý muốn. Mỗi vòng tiếp theo bao gồm hai bước:
(a) Bob chọn một số nguyên $k$ với $1 \leqslant k \leqslant 59$ và chia các hộp thành hai nhóm $B_{1}, \ldots, B_{k}$ và $B_{k+1}, \ldots, B_{60}$.
(b) Alice chọn một trong hai nhóm này, thêm một viên sỏi vào mỗi hộp trong nhóm đó và lấy đi một viên sỏi khỏi mỗi hộp trong nhóm kia.
Bob thắng nếu ở cuối bất kỳ vòng nào, hộp nào đó không chứa sỏi. Tìm $n$ nhỏ nhất sao cho Alice có thể ngăn Bob thắng.
Câu hỏi 15
Alice có bản đồ của xứ sở thần tiên, một đất nước bao gồm $n \geqslant 2$ thị trấn. Đối với mọi
cặp thị trấn, có một con đường hẹp đi từ thị trấn này sang thị trấn khác. Một ngày nọ, tất cả các con đường được tuyên bố là chỉ có "một chiều". Alice không có thông tin về hướng đi của các con đường, nhưng Vua Cơ đã đề nghị giúp đỡ cô. Cô được phép hỏi anh ta một số câu hỏi. Với mỗi câu hỏi lần lượt, Alice chọn một cặp thị trấn và Vua Cơ cho cô biết hướng của con đường nối hai thị trấn đó.
Alice muốn biết liệu có ít nhất một thị trấn ở Xứ sở thần tiên có nhiều nhất một con đường đi ra ngoài hay không. Chứng minh rằng cô ấy luôn có thể tìm ra bằng cách hỏi tối đa $4 n$ câu hỏi.
Nhận xét. Vấn đề này có thể được đặt ra bằng một tuyên bố rõ ràng về điểm được trao cho các giới hạn yếu hơn $c n$ đối với một số $c\gt 4$, theo kiểu IMO 2014 Bài toán 6.
cặp thị trấn, có một con đường hẹp đi từ thị trấn này sang thị trấn khác. Một ngày nọ, tất cả các con đường được tuyên bố là chỉ có "một chiều". Alice không có thông tin về hướng đi của các con đường, nhưng Vua Cơ đã đề nghị giúp đỡ cô. Cô được phép hỏi anh ta một số câu hỏi. Với mỗi câu hỏi lần lượt, Alice chọn một cặp thị trấn và Vua Cơ cho cô biết hướng của con đường nối hai thị trấn đó.
Alice muốn biết liệu có ít nhất một thị trấn ở Xứ sở thần tiên có nhiều nhất một con đường đi ra ngoài hay không. Chứng minh rằng cô ấy luôn có thể tìm ra bằng cách hỏi tối đa $4 n$ câu hỏi.
Nhận xét. Vấn đề này có thể được đặt ra bằng một tuyên bố rõ ràng về điểm được trao cho các giới hạn yếu hơn $c n$ đối với một số $c\gt 4$, theo kiểu IMO 2014 Bài toán 6.
Câu hỏi 16
Đối với hai số thực khác nhau $x$ và $y$, chúng tôi xác định $D(x, y)$ là số nguyên duy nhất $d$ thỏa mãn $2^{d} \leqslant|x-y|\lt 2^{d+1}$. Cho một tập hợp các số thực $\mathcal{F}$ và một phần tử $x \in \mathcal{F}$, chúng ta nói rằng thang đo của $x$ trong $\mathcal{F}$ là các giá trị của $D(x, y)$ cho $y \in \mathcal{F}$ với $x \neq y$.
Đặt $k$ là một số nguyên dương cho trước. Giả sử rằng mỗi thành viên $x$ của $\mathcal{F}$ có nhiều nhất $k$ các thang đo khác nhau trong $\mathcal{F}$ (lưu ý rằng các thang đo này có thể phụ thuộc vào $x$ ). Số phần tử lớn nhất có thể có của $\mathcal{F}$ là bao nhiêu?
Đặt $k$ là một số nguyên dương cho trước. Giả sử rằng mỗi thành viên $x$ của $\mathcal{F}$ có nhiều nhất $k$ các thang đo khác nhau trong $\mathcal{F}$ (lưu ý rằng các thang đo này có thể phụ thuộc vào $x$ ). Số phần tử lớn nhất có thể có của $\mathcal{F}$ là bao nhiêu?
Câu hỏi 17
Cho $A B C$ là một hình tam giác. Đường tròn $\Gamma$ đi qua $A$, cắt các đoạn $A B$ và $A C$ lần lượt tại các điểm $D$ và $E$ và cắt đoạn $B C$ tại $F$ và $G$ sao cho $F$ nằm giữa $B$ và $G$. Tiếp tuyến của đường tròn $B D F$ tại $F$ và tiếp tuyến của đường tròn $C E G$ tại $G$ gặp nhau tại điểm $T$. Giả sử rằng các điểm $A$ và $T$ là phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng $A T$ song song với $B C$.
Câu hỏi 18
Cho $A B C$ là một tam giác có góc nhọn và $D, E$, $F$ là chân các đường cao
từ $A, B$ và $C$ đến các cạnh $B C, C A$ và $A B$ tương ứng. Ký hiệu $\omega_{B}$ và $\omega_{C}$ các đường tròn nội tiếp tam giác $B D F$ và $C D E$, đồng thời để các đường tròn này tiếp xúc với các đoạn $D F$ và $D E$ tại $M$ và $N$ tương ứng. Để đường thẳng $M N$ gặp lại các vòng tròn $\omega_{B}$ và $\omega_{C}$ lần lượt tại $P \neq M$ và $Q \neq N$. Chứng minh rằng $M P=N Q$.
từ $A, B$ và $C$ đến các cạnh $B C, C A$ và $A B$ tương ứng. Ký hiệu $\omega_{B}$ và $\omega_{C}$ các đường tròn nội tiếp tam giác $B D F$ và $C D E$, đồng thời để các đường tròn này tiếp xúc với các đoạn $D F$ và $D E$ tại $M$ và $N$ tương ứng. Để đường thẳng $M N$ gặp lại các vòng tròn $\omega_{B}$ và $\omega_{C}$ lần lượt tại $P \neq M$ và $Q \neq N$. Chứng minh rằng $M P=N Q$.
Câu hỏi 19
Trong tam giác $A B C$, đặt $A_{1}$ và $B_{1}$ là hai điểm trên các cạnh $B C$ và $A C$, và đặt $P$ và $Q$ lần lượt là hai điểm trên các đoạn $A A_{1}$ và $B B_{1}$, sao cho đường thẳng đó $P Q$ song song với $A B$. Trên tia $P B_{1}$, ngoài $B_{1}$, đặt $P_{1}$ là một điểm sao cho $\angle P P_{1} C=\angle B A C$. Tương tự, trên tia $Q A_{1}$, ngoài $A_{1}$, cho $Q_{1}$ là một điểm sao cho $\angle C Q_{1} Q=\angle C B A$. Chứng minh rằng các điểm $P, Q, P_{1}$ và $Q_{1}$ đều là đồng viên.
Câu hỏi 20
Cho $P$ là một điểm bên trong tam giác $A B C$. Để $A P$ gặp $B C$ tại $A_{1}$, để $B P$ gặp $C A$ tại $B_{1}$ và để $C P$ gặp $A B$ tại $C_{1}$. Gọi $A_{2}$ là điểm sao cho $A_{1}$ là trung điểm của $P A_{2}$, gọi $B_{2}$ là điểm sao cho $B_{1}$ là trung điểm của $P B_{2}$, và gọi $C_{2}$ là điểm sao cho $C_{1}$ là trung điểm của $P C_{2}$. Chứng minh rằng cả ba điểm $A_{2}, B_{2}$ và $C_{2}$ không thể cùng nằm hẳn bên trong đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A B C$.