Có tồn tại hàm $ s\colon \mathbb{Q} \to \{-1,1\} $ sao cho với hai số hữu tỉ phân biệt $ x $ và $ y $ thỏa $ xy = 1 $ hoặc $ x + y \in \{0,1\} $, ta luôn có $ s(x)s(y) = -1 $ hay không? Giải thích.
Cho các số thực dương $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, $n \gt 1$. Gọi $g_{n}$ là trung bình nhân của chúng và $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ là dãy các trung bình cộng định nghĩa bởi $A_{k} = \frac{a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{k}}{k}$, $k = 1, 2, \ldots, n$. Gọi $G_{n}$ là trung bình nhân của $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$. Chứng minh
Một trường đại học có 10001 sinh viên. Một số sinh viên lập thành các câu lạc bộ (mỗi sinh viên có thể tham gia nhiều câu lạc bộ). Các câu lạc bộ tập hợp thành các hội (mỗi câu lạc bộ có thể thuộc nhiều hội). Có tổng cộng k hội. Giả sử:
(i) Mỗi cặp sinh viên cùng thuộc đúng một câu lạc bộ.
(ii) Với mỗi sinh viên và mỗi hội, sinh viên đó thuộc đúng một câu lạc bộ của hội.
(iii) Mỗi câu lạc bộ có số sinh viên lẻ. Một câu lạc bộ có $ 2m+1 $ sinh viên (m nguyên dương) thuộc đúng m hội. Tìm mọi giá trị có thể của k.
Cho các số nguyên dương $n$ và $k$. Có $n$ đường tròn trong mặt phẳng, mỗi cặp cắt nhau tại hai điểm phân biệt và tất cả giao điểm đều khác nhau. Tô mỗi giao điểm bằng một trong $n$ màu phân biệt, dùng mỗi màu ít nhất một lần và có đúng $k$ màu trên mỗi đường tròn. Tìm mọi giá trị $n \geq 2$ và $k$ cho phép cách tô như vậy.
Trên một đồ thị hữu hạn, được phép chọn một chu trình độ dài 4 (nếu có), rồi chọn và xóa một cạnh của chu trình đó. Với số nguyên cố định $ n \geq 4 $, tìm số cạnh nhỏ nhất của đồ thị thu được khi lặp thao tác này từ đồ thị đầy đủ có n đỉnh (mỗi cặp đỉnh nối nhau bởi một cạnh).
Xét ma trận kích thước $ n \times n $, mỗi phần tử là số thực có giá trị tuyệt đối không quá 1 và tổng mọi phần tử bằng 0. Cho n là số nguyên dương chẵn. Tìm số C nhỏ nhất sao cho mọi ma trận như vậy có một hàng hoặc cột mà tổng các phần tử có giá trị tuyệt đối không quá C.
Cho số nguyên dương $N$. Hai người chơi $A$, $B$ lần lượt viết các số thuộc $\{1, \ldots, N\}$ lên bảng. $A$ đi trước, viết số 1. Nếu một người viết $n$ ở
một lượt thì đối thủ được viết $ n+1 $ hoặc 2n, miễn số đó không vượt quá N. Ai viết N thì thắng. N thuộc loại A hoặc B tùy theo A hoặc B có chiến lược thắng.
Với ma trận $ n \times n $, ký hiệu $ A $, gọi $ X_i $ là tập các phần tử ở hàng $ i $, và $ Y_j $ là tập các phần tử ở cột $ j $, $ 1 \leq i, j \leq n $. Gọi $ A $ là ma trận vàng nếu $ X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n $ là các tập đôi một khác nhau. Tìm số nguyên $ n $ nhỏ nhất để tồn tại ma trận vàng $ 2004 \times 2004 $ có các phần tử thuộc $ \{1, 2, \ldots, n\} $.
Cho tam giác nhọn $ ABC $ với $ AB \ne AC $. Đường tròn đường kính $ BC $ cắt các cạnh $ AB $, $ AC $ lần lượt tại $ M $, $ N $. Gọi $ O $ là trung điểm $ BC $. Các đường phân giác của $ BAC $, $ MON $ cắt nhau tại $ R $. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp $ BMR $, $ CNR $ có một giao điểm nằm trên đoạn $ BC $.
Đường tròn $\Gamma$ không cắt đường thẳng $\ell$. Cho đường kính $AB$ của $\Gamma$ vuông góc $\ell$, với $B$ gần $\ell$ hơn $A$. Chọn điểm tùy ý $C \neq A$, $B$ trên $\Gamma$. Đường thẳng $AC$ cắt $\ell$ tại $D$. Đường thẳng $DE$ tiếp xúc $\Gamma$ tại $E$, với $B$, $E$ cùng phía đối với $AC$. Cho $BE$ cắt $\ell$ tại $F$, và $AF$ cắt $\Gamma$ tại $G \neq A$. Chứng minh ảnh đối xứng của $G$ qua $AB$ nằm trên $CF$.
Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$, với $\angle B \lt \angle C$. Đường thẳng $AO$ cắt cạnh $BC$ tại $D$. Các tam giác $ABD$, $ACD$ có tâm ngoại tiếp lần lượt $E$, $F$. Kéo dài các cạnh $BA$, $CA$ qua $A$, chọn trên các phần kéo dài tương ứng các điểm $G$, $H$ thỏa $AG = AC$, $AH = AB$. Chứng minh $EFGH$ là hình chữ nhật khi và chỉ khi $\angle ACB - \angle ABC = 60^\circ$.
Cho đa giác đều n cạnh $ A_1A_2\ldots A_n $. Định nghĩa các điểm $ B_1,\ldots,B_{n-1} $ như sau:
(i) Nếu i = 1 hoặc i = n - 1, $B_{i}$ là trung điểm cạnh $A_{i}A_{i+1}$.
(ii) Nếu $ i \neq 1 $, $ i \neq n-1 $, và S là giao điểm $ A_1A_{i+1} $, $ A_nA_i $, thì $ B_i $ là giao điểm đường phân giác góc $ A_iSA_{i+1} $ với $ A_iA_{i+1} $.
