Cho số nguyên cố định $n$, với $n \geqslant 2$. Hai đa thức hệ số thực $P$, $Q$ được gọi là tương tự theo khối nếu với mỗi $i \in\{1,2, \ldots, n\}$, các dãy
là hoán vị của nhau.
(a) Chứng minh tồn tại hai đa thức tương tự theo khối khác nhau có bậc $n+1$.
(b) Chứng minh không tồn tại hai đa thức tương tự theo khối khác nhau có bậc $n$.
Ở Lineland có $n \geqslant 1$ thị trấn dọc một con đường từ trái sang phải. Mỗi thị trấn có một xe ủi trái đặt bên trái, hướng sang trái, và một xe ủi phải đặt bên phải, hướng sang phải. Kích thước $2 n$ xe khác nhau. Khi một xe hướng phải đối đầu một xe hướng trái, xe lớn đẩy xe nhỏ khỏi đường. Tuy nhiên phía sau các xe không được bảo vệ: nếu một xe đến phía sau xe khác, xe thứ nhất đẩy xe thứ hai khỏi đường bất kể kích thước.
Cho hai thị trấn $A$, $B$, với $B$ bên phải $A$. Nói $A$ có thể quét sạch $B$ nếu xe ủi phải của $A$ đi tới $B$, đẩy khỏi đường mọi xe nó gặp. Tương tự, $B$ quét sạch $A$ nếu xe ủi trái của $B$ tới $A$, đẩy mọi xe của các thị trấn trên đường khỏi đường.
Chứng minh có đúng một thị trấn không thể bị thị trấn nào khác quét sạch.
Cho tập hữu hạn $\mathcal{V}$ gồm các điểm trong mặt phẳng. Tập $\mathcal{V}$ gọi là cân bằng nếu với mọi hai điểm phân biệt $A, B \in \mathcal{V}$, có điểm $C \in \mathcal{V}$ sao cho $A C=B C$. Tập $\mathcal{V}$ gọi là không chứa tâm nếu với mọi điểm phân biệt $A, B, C \in \mathcal{V}$, không có điểm $P \in \mathcal{V}$ sao cho $P A=P B=P C$.
(a) Chứng minh với mọi $n \geqslant 3$, tồn tại tập cân bằng gồm $n$ điểm.
(b) Với những $n \geqslant 3$ nào tồn tại tập cân bằng, không chứa tâm, gồm $n$ điểm?
Cho tập hữu hạn $A$ các số nguyên dương. Một phân hoạch $A$ thành hai tập con rời nhau, không rỗng $A_{1}$, $A_{2}$ là tốt nếu bội chung nhỏ nhất của các phần tử $A_{1}$ bằng ước chung lớn nhất của các phần tử $A_{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất $n$ sao cho có tập $n$ số nguyên dương với đúng 2015 phân hoạch tốt.
Cho số nguyên dương $n$. Hai người $A$, $B$ luân phiên chọn các số nguyên dương $k \leqslant n$, theo các quy tắc:
(i) Không được chọn số mà bất kỳ người nào đã chọn trước đó.
(ii) Không được chọn số liên tiếp với bất kỳ số nào chính người ấy đã chọn trước đó.
(iii) Hòa nếu mọi số đều đã chọn; nếu không, người không thể chọn thêm số sẽ thua.
Người $A$ đi trước. Xác định kết quả nếu cả hai dùng chiến lược tối ưu.
Cho dãy vô hạn số nguyên dương $a_{1}, a_{2}, \ldots$, với $a_{i} \leqslant 2015$ cho mọi $i \geqslant 1$. Giả sử với hai chỉ số khác nhau bất kỳ $i$, $j$, có $i+a_{i} \neq j+a_{j}$.
Chứng minh tồn tại hai số nguyên dương $b$, $N$ sao cho
Cho tập không rỗng $S$ các số nguyên dương. Số nguyên dương $n$ gọi là sạch nếu có duy nhất một biểu diễn thành tổng của số lẻ phần tử phân biệt thuộc $S$. Chứng minh có vô hạn số nguyên dương không sạch.
Trong một nhóm người, một số cặp là kẻ thù. Một nhóm con gọi là không hòa đồng nếu có số lẻ thành viên, ít nhất 3 người, và có thể xếp mọi thành viên quanh bàn tròn để mỗi cặp ngồi cạnh là kẻ thù. Biết có nhiều nhất 2015 nhóm không hòa đồng, chứng minh có thể chia toàn bộ nhóm người thành 11 phần sao cho không có hai kẻ thù trong cùng một phần.
Cho tam giác nhọn $A B C$ với trực tâm $H$. Lấy $G$ sao cho tứ giác $A B G H$ là hình bình hành. Lấy $I$ trên đường $G H$ sao cho $A C$ là phân giác $H I$. Giả sử đường $A C$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $G C I$ tại $C$, $J$. Chứng minh $I J=A H$.
Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $\Omega$, tâm $O$. Đường tròn $\Gamma$, tâm $A$, gặp cạnh $B C$ tại $D$, $E$, với $D$ giữa $B$, $E$. Gọi $F$, $G$ là các điểm chung của $\Gamma$, $\Omega$. Giả sử $F$ trên cung $A B$ của $\Omega$ không chứa $C$, và $G$ trên cung $A C$ của $\Omega$ không chứa $B$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $B D F$, $C E G$ lần lượt gặp lại các cạnh $A B$, $A C$ tại $K$, $L$. Các đường $F K$, $G L$ khác nhau, cắt tại $X$. Chứng minh $A, X$, $O$ thẳng hàng.
Cho tam giác $A B C$ với $\angle C=90^{\circ}$, và $H$ là chân đường cao từ $C$. Chọn $D$ trong tam giác $C B H$ để $C H$ là phân giác $A D$. Gọi $P$ là giao điểm các đường $B D$, $C H$. Gọi $\omega$ là nửa đường tròn đường kính $B D$, gặp đoạn $C B$ tại một điểm trong. Đường qua $P$ tiếp xúc $\omega$ tại $Q$. Chứng minh các đường $C Q$, $A D$ gặp nhau trên $\omega$.
Cho tam giác nhọn $A B C$, và $M$ là trung điểm $A C$. Đường tròn $\omega$ qua $B$, $M$ gặp lại các cạnh $A B$, $B C$ tại $P$, $Q$, tương ứng. Lấy $T$ sao cho tứ giác $B P T Q$ là hình bình hành. Giả sử $T$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Tìm mọi giá trị có thể của $B T / B M$.
Cho tam giác $A B C$, với $C A \neq C B$. Gọi $D, F$, $G$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A B, A C$, $B C$. Đường tròn $\Gamma$ qua $C$, tiếp xúc $A B$ tại $D$, gặp các đoạn $A F$, $B G$ lần lượt tại $H$, $I$. Các điểm $H^{\prime}$, $I^{\prime}$ lần lượt đối xứng với $H$, $I$ qua $F$, $G$. Đường $H^{\prime} I^{\prime}$ gặp $C D$, $F G$ lần lượt tại $Q$, $M$. Đường $C M$ gặp lại $\Gamma$ tại $P$. Chứng minh $C Q=Q P$.
Cho tam giác nhọn $A B C$ với $A B\gt A C$, đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$. Gọi $H$, $M$, $F$ lần lượt là trực tâm, trung điểm $B C$, chân đường cao từ $A$. Gọi $Q$, $K$ là hai điểm trên $\Gamma$ thỏa mãn $\angle A Q H=90^{\circ}$, $\angle Q K H=90^{\circ}$. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp tam giác $K Q H$, $K F M$ tiếp xúc nhau.
Cho tứ giác lồi $A B C D$. Các điểm $P, Q, R$, $S$ lần lượt thuộc các cạnh $A B, B C, C D$, $D A$. Các đoạn $P R$, $Q S$ gặp nhau tại $O$. Giả sử mỗi tứ giác $A P O S, B Q O P, C R O Q$, $D S O R$ có đường tròn nội tiếp. Chứng minh các đường $A C, P Q$, $R S$ đồng quy hoặc đôi một song song.