Giáo sư Oak cho 100 Pokémon ăn. Mỗi Pokémon có một chiếc bát với sức chứa là một số thực dương kilôgam, và giáo sư biết tất cả các sức chứa ấy. Tổng sức chứa của các bát là 100 kg. Giáo sư phân phát 100 kg thức ăn sao cho mỗi Pokémon nhận một số nguyên không âm kilôgam, có thể nhiều hơn sức chứa của bát. Mức bất mãn của Pokémon nhận $N$ kg thức ăn và có bát chứa được $C$ kg là $|N-C|$.
Tìm số thực nhỏ nhất $D$ sao cho với mọi bộ sức chứa như trên, giáo sư có thể phân phát thức ăn để tổng mức bất mãn của 100 Pokémon không vượt quá $D$.
Cho $\mathbb{R}$ là tập hợp các số thực. Đặt $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số sao cho
$$
f(x+y) f(x-y) \geqslant f(x)^{2}-f(y)^{2}
$$
với mọi $x, y \in \mathbb{R}$. Giả sử rằng bất đẳng thức là nghiêm ngặt đối với một số $x_{0}, y_{0} \in \mathbb{R}$.
Chứng minh rằng $f(x) \geqslant 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ hoặc $f(x) \leqslant 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Đặt $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2023}$ là các số nguyên dương sao cho
- $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2023}$ là hoán vị của $1,2, \ldots, 2023$, và
- $\left|a_{1}-a_{2}\right|,\left|a_{2}-a_{3}\right|, \ldots,\left|a_{2022}-a_{2023}\right|$ là hoán vị của $1,2, \ldots, 2022$.
Chứng minh rằng $\max \left(a_{1}, a_{2023}\right) \geqslant 507$.
Cho số nguyên $k \geqslant 2$. Xác định tất cả các dãy số nguyên dương $a_{1}, a_{2}, \ldots$ sao cho tồn tại một đa thức $P$ bậc $k$, có hệ số cao nhất bằng 1 và các hệ số nguyên không âm, thỏa mãn
Đặt $N$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại ba các hoán vị $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}$; $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{N}$; và $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{N}$ của $1,2, \ldots, N$ sao cho
Cho $m$ và $n$ là các số nguyên dương lớn hơn 1. Mỗi ô đơn vị trong lưới $m \times n$ chứa một đồng xu có mặt sấp hướng lên. Mỗi lượt thực hiện:
1. Chọn một hình vuông $2 \times 2$ trong lưới;
2. Lật các đồng xu ở ô trên trái và dưới phải;
3. Lật đồng xu ở một trong hai ô trên phải hoặc dưới trái.
Xác định tất cả các cặp $(m, n)$ sao cho sau hữu hạn lượt có thể làm mọi đồng xu đều ngửa.
Xác định độ dài cực đại $L$ của dãy $a_{1}, \ldots, a_{L}$ của các số nguyên dương thỏa mãn cả hai tính chất sau:
- mọi số hạng trong dãy đều nhỏ hơn hoặc bằng $2^{2023}$ và
- không tồn tại dãy con liên tiếp $a_{i}, a_{i+1}, \ldots, a_{j}$ (trong đó $1 \leqslant i \leqslant j \leqslant L$ ) với việc lựa chọn các dấu $s_{i}, s_{i+1}, \ldots, s_{j} \in\{1,-1\}$ mà
Cho $n$ là số nguyên dương. Xếp $1+2+\cdots+n$ đường tròn thành một tam giác có $n$ hàng, hàng thứ $i$ chứa đúng $i$ đường tròn. Hình sau minh họa trường hợp $n=6$.
Trong tam giác này, một đường đi ninja là dãy đường tròn thu được bằng cách mỗi bước đi từ một đường tròn tới một trong hai đường tròn ngay phía dưới nó. Theo $n$, tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho khi mỗi hàng có một đường tròn được tô đỏ, luôn tìm được một đường đi ninja có ít nhất $k$ đường tròn đỏ.
Đặt $n \geqslant 2$ là số nguyên dương. Paul có một dải hình chữ nhật $1 \times n^{2}$ bao gồm các hình vuông đơn vị $n^{2}$, trong đó hình vuông $i$ được gắn nhãn $i$ cho tất cả $1 \leqslant i \leqslant n^{2}$. Anh ta muốn cắt dải thành nhiều mảnh, trong đó mỗi mảnh bao gồm một số ô vuông đơn vị liên tiếp, sau đó tịnh tiến (không xoay hoặc lật) các mảnh để thu được một hình vuông $n \times n$ thỏa mãn tính chất sau: nếu ô vuông đơn vị trong hàng $i$ và cột $j$ được gắn nhãn $a_{i j}$ thì $a_{i j}-(i+j-1)$ chia hết cho $n$.
Xác định số mảnh nhỏ nhất mà Paul cần làm để hoàn thành việc này.
Elisa có 2023 rương kho báu, tất cả đều được mở khóa và trống rỗng lúc đầu. Mỗi ngày, Elisa thêm một viên đá quý mới vào một trong những chiếc rương đã mở khóa mà cô ấy chọn, và sau đó, một nàng tiên sẽ hành động theo các quy tắc sau:
- nếu có nhiều rương được mở khóa, nó sẽ khóa một trong số chúng, hoặc
- nếu chỉ có một rương được mở khóa, nó sẽ mở khóa tất cả các rương.
Cho rằng quá trình này diễn ra mãi mãi, chứng minh có một hằng số $C$ với đặc tính sau: Elisa có thể đảm bảo rằng sự khác biệt giữa số lượng đá quý trong hai rương bất kỳ không bao giờ vượt quá $C$, bất kể nàng tiên chọn rương để khóa như thế nào.
Cho số nguyên dương $N$ và lưới $N \times N$. Đường đi phải–xuống là dãy ô mà mỗi ô tiếp theo ở ngay bên phải hoặc ngay dưới ô trước. Đường đi phải–lên là dãy ô mà mỗi ô tiếp theo ở ngay bên phải hoặc ngay trên ô trước.
Chứng minh rằng không thể chia các ô của lưới $N \times N$ thành ít hơn $N$ đường đi phải–xuống hoặc phải–lên. Ví dụ, cách chia sau dùng 5 đường đi cho lưới $5 \times 5$.
Quần đảo Imomi có $n \geqslant 2$ đảo. Mỗi cặp đảo phân biệt được nối bởi đúng một tuyến phà hai chiều, do một trong $k$ công ty vận hành. Nếu bất kỳ một trong $k$ công ty dừng mọi tuyến của mình, thì dù khởi hành ở đâu, một du khách cũng không thể thăm tất cả các đảo, mỗi đảo đúng một lần, và không quay lại đảo xuất phát.
Xác định giá trị lớn nhất có thể của $k$ theo $n$.
Cho $A B C D E$ là một ngũ giác lồi sao cho $\angle A B C=\angle A E D=90^{\circ}$. Giả sử trung điểm của $C D$ là tâm ngoại tiếp của tam giác $A B E$. Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp của tam giác $A C D$.
Chứng minh rằng đường thẳng $A O$ đi qua trung điểm của đoạn $B E$.
Cho $A B C$ là một tam giác với $A C\gt B C$. Gọi $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A B C$ và $r$ là bán kính của $\omega$. Điểm $P$ nằm trên đoạn $A C$ sao cho $B C=C P$ và điểm $S$ là chân đường vuông góc từ $P$ đến đường thẳng $A B$. Cho tia $B P$ cắt $\omega$ lần nữa tại $D$ và để $Q$ nằm trên đường thẳng $S P$ sao cho $P Q=r$ và $S, P, Q$ nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. Cuối cùng, để đường thẳng vuông góc với $C Q$ từ $A$ cắt đường thẳng vuông góc với $D Q$ từ $B$ tại $E$.
Đặt $A B C D$ là tứ giác nội tiếp với $\angle B A D\lt \angle A D C$. Gọi $M$ là trung điểm của cung $C D$ không chứa $A$. Giả sử có một điểm $P$ bên trong $A B C D$ sao cho $\angle A D B=$ $\angle C P D$ và $\angle A D P=\angle P C B$.
Chứng minh rằng các đường thẳng $A D, P M, B C$ đồng quy.
Cho $A B C$ là tam giác nhọn với $A B\lt A C$. Biểu thị đường tròn ngoại tiếp của nó bằng $\Omega$ và biểu thị trung điểm của $\operatorname{arc} C A B$ bằng $S$. Giả sử đường vuông góc từ $A$ đến $B C$ lần lượt gặp $B S$ và $\Omega$ tại $D$ và $E \neq A$. Giả sử đường thẳng đi qua $D$ song song với $B C$ cắt đường thẳng $B E$ tại $L$ và biểu thị đường tròn ngoại tiếp của tam giác $B D L$ là $\omega$. Hãy để $\omega$ gặp lại $\Omega$ tại $P \neq B$.
Chứng minh rằng đường tiếp tuyến của $\omega$ tại $P$ và đường thẳng $B S$ cắt nhau trên phân giác trong của $\angle B A C$.
Cho $A B C$ là tam giác nhọn với đường tròn ngoại tiếp $\omega$ và tâm ngoại tiếp $O$. Các điểm $D \neq B$ và $E \neq C$ nằm trên $\omega$ sao cho $B D \perp A C$ và $C E \perp A B$. Để $C O$ gặp $A B$ tại $X$ và $B O$ gặp $A C$ tại $Y$.
Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác $B X D$ và $C Y E$ có giao nhau trên đường thẳng $A O$.
Cho $A B C$ là tam giác nhọn với đường tròn ngoại tiếp $\omega$. Đường tròn $\Gamma$ tiếp xúc trong với $\omega$ tại $A$ và cũng tiếp tuyến với $B C$ tại $D$. Cho $A B$ và $A C$ cắt $\Gamma$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Đặt $M$ và $N$ là các điểm trên đường $B C$ sao cho $B$ là trung điểm của $D M$ và $C$ là trung điểm của $D N$. Các đường $M P$ và $N Q$ gặp nhau tại $K$ và cắt $\Gamma$ lần nữa lần lượt tại $I$ và $J$. Tia $K A$ cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác $I J K$ tại $X \neq K$.
