(BLR) IMO1. Một lưới ô vuông vô hạn được tô theo kiểu bàn cờ. Với mỗi cặp số nguyên dương $m,n$, xét một tam giác vuông có các đỉnh là các điểm lưới, các cạnh góc vuông có độ dài $m$ và $n$ nằm trên các đường lưới. Gọi $S_b$ là tổng diện tích phần đen của tam giác và $S_w$ là tổng diện tích phần trắng. Định nghĩa hàm $f(m,n)=|S_b-S_w|$.
(a) Tính $f(m,n)$ với mọi $m,n$ cùng tính chẵn lẻ.
(b) Chứng minh rằng $f(m,n)\le\frac12\max(m,n)$.
(c) Chứng tỏ $f(m,n)$ không bị chặn trên.
(CAN) Cho họ $R_1,R_2,\ldots$ gồm các dãy hữu hạn số nguyên dương được định nghĩa như sau: $R_1=(1)$, và nếu $R_{n-1}=(x_1,\ldots,x_s)$ thì
$$R_n=(1,2,\ldots,x_1,1,2,\ldots,x_2,\ldots,1,2,\ldots,x_s,n).$$
Ví dụ, $R_2=(1,2)$, $R_3=(1,1,2,3)$, $R_4=(1,1,1,2,1,2,3,4)$. Chứng minh rằng nếu $n>1$ thì số hạng thứ $k$ từ trái sang trong $R_n$ bằng $1$ khi và chỉ khi số hạng thứ $k$ từ phải sang trong $R_n$ khác $1$.
(GER) Với mỗi tập hữu hạn $U$ gồm các vectơ khác không trong mặt phẳng, định nghĩa $l(U)$ là độ dài vectơ tổng của tất cả các vectơ trong $U$. Cho một tập hữu hạn $V$ gồm các vectơ khác không trong mặt phẳng; tập con $B$ của $V$ được gọi là cực đại nếu $l(B)$ lớn hơn hoặc bằng $l(A)$ với mỗi tập con không rỗng $A$ của $V$.
(a) Xây dựng các tập gồm $4$ và $5$ vectơ có lần lượt $8$ và $10$ tập con cực đại.
(b) Chứng tỏ rằng với mỗi tập $V$ gồm $n\ge1$ vectơ, số tập con cực đại không vượt quá $2n$.
(IRN) IMO4. Một ma trận $n\times n$ có các phần tử thuộc $\{1,2,\ldots,2n-1\}$ được gọi là ma trận phủ đủ nếu với mỗi $i$, hợp của hàng thứ $i$ và cột thứ $i$ chứa $2n-1$ phần tử phân biệt. Chứng tỏ rằng:
(a) Không có ma trận phủ đủ với $n=1997$.
(b) Ma trận phủ đủ tồn tại với vô số giá trị $n$.
(ROM) Cho $ABCD$ là tứ diện đều và $M,N$ là hai điểm phân biệt lần lượt nằm trong các mặt phẳng $ABC$ và $ADC$. Chứng tỏ các đoạn thẳng $MN,BN,MD$ là ba cạnh của một tam giác.
(IRE) (a) Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh tồn tại các số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z$ sao cho
$$x^{n-1}+y^n=z^{n+1}.$$
(b) Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương sao cho $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau và $c$ nguyên tố cùng nhau với $a$ hoặc $b$. Chứng minh tồn tại vô số bộ ba $(x,y,z)$ gồm các số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z$ sao cho
$$x^a+y^b=z^c.$$
Phát biểu ban đầu: Cho $a,b,c,n$ là các số nguyên dương sao cho $n$ lẻ và $ac$ nguyên tố cùng nhau với $2b$. Chứng minh tồn tại các số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z$ sao cho
(i) $x^a+y^b=z^c$, và
(ii) $xyz$ nguyên tố cùng nhau với $n$.
(RUS) Cho $ABCDEF$ là lục giác lồi thỏa mãn $AB=BC$, $CD=DE$, $EF=FA$. Chứng minh rằng
$$\frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+\frac{FA}{FC}\ge\frac32.$$
Khi nào xảy ra dấu bằng?
(GBR) IMO2. Chọn bốn điểm phân biệt $A,B,C,D$ trên đường tròn $\Gamma$ sao cho tam giác $BCD$ không vuông. Chứng minh rằng:
(a) Các đường trung trực của $AB$ và $AC$ lần lượt cắt đường thẳng $AD$ tại các điểm $W$ và $V$, và các đường thẳng $CV$ và $BW$ cắt nhau tại một điểm $T$.
(b) Độ dài một trong ba đoạn thẳng $AD,BT,CT$ bằng tổng độ dài hai đoạn còn lại.
Phát biểu ban đầu. Trong tam giác $ABC$, góc tại $A$ nhỏ nhất. Một đường thẳng qua $A$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tại điểm $U$ thuộc cung $BC$ đối diện $A$. Các đường trung trực của $CA$ và $AB$ lần lượt cắt $AU$ tại $V$ và $W$, và các đường thẳng $CV,BW$ cắt nhau tại $T$. Chứng tỏ $AU=TB+TC$.
(USA) Cho tam giác không cân $A_1A_2A_3$ có tâm nội tiếp $I$. Gọi $C_i$, $i=1,2,3$, là đường tròn nhỏ hơn trong các đường tròn đi qua $I$ và tiếp xúc với $A_iA_{i+1}$ và $A_iA_{i+2}$ (cộng chỉ số theo modulo $3$). Gọi $B_i$, $i=1,2,3$, là giao điểm thứ hai của $C_{i+1}$ và $C_{i+2}$. Chứng minh tâm các đường tròn ngoại tiếp những tam giác $A_1B_1I,A_2B_2I,A_3B_3I$ thẳng hàng.
(CZE) Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ để mệnh đề sau đúng:
Nếu $F(x)$ là đa thức hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện sau với mỗi giá trị được chỉ ra:
$$0\le F(c)\le k\quad\text{for each }c\in\{0,1,\ldots,k+1\},$$
thì $F(0)=F(1)=\cdots=F(k+1)$.
(NET) Cho $P(x)$ là đa thức hệ số thực sao cho $P(x)>0$ với mọi $x\ge0$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $(1+x)^nP(x)$ là một đa thức có các hệ số không âm.
(ITA) Cho $p$ là số nguyên tố và $f(x)$ là đa thức bậc $d$ có hệ số nguyên sao cho:
(i) $f(0)=0$, $f(1)=1$;
(ii) với mỗi số nguyên dương $n$, số dư khi chia $f(n)$ cho $p$ bằng $0$ hoặc $1$.
Chứng minh rằng $d\ge p-1$.
(IND) Ở thị trấn $A$ có $n$ bạn gái và $n$ bạn trai, mỗi bạn gái đều quen mọi bạn trai. Ở thị trấn $B$ có $n$ bạn gái $g_1,g_2,\ldots,g_n$ và $2n-1$ bạn trai $b_1,b_2,\ldots,b_{2n-1}$. Bạn gái $g_i$, $i=1,2,\ldots,n$, quen các bạn trai $b_1,b_2,\ldots,b_{2i-1}$ và không quen ai khác. Với mọi $r=1,2,\ldots,n$, ký hiệu $A(r),B(r)$ là số cách khác nhau để $r$ bạn gái ở thị trấn $A$, tương ứng thị trấn $B$, khiêu vũ với $r$ bạn trai cùng thị trấn, tạo thành $r$ cặp, mỗi bạn gái ghép với một bạn trai mình quen. Chứng minh $A(r)=B(r)$ với mỗi $r=1,2,\ldots,n$.
(IND) Cho $b,m,n$ là các số nguyên dương sao cho $b>1$ và $m\ne n$. Chứng minh rằng nếu $b^m-1$ và $b^n-1$ có cùng các ước nguyên tố thì $b+1$ là một lũy thừa của $2$.
(RUS) Một cấp số cộng vô hạn có các số hạng là số nguyên dương chứa bình phương của một số nguyên và lập phương của một số nguyên. Chứng tỏ nó chứa lũy thừa bậc sáu của một số nguyên.
(BLR) Trong tam giác nhọn $ABC$, gọi $AD,BE$ là các đường cao và $AP,BQ$ là các đường phân giác trong. Ký hiệu $I$ và $O$ lần lượt là tâm nội tiếp và tâm ngoại tiếp của tam giác. Chứng minh các điểm $D,E,I$ thẳng hàng khi và chỉ khi các điểm $P,Q,O$ thẳng hàng.
(GBR) Các đường cao qua các đỉnh $A,B,C$ của tam giác nhọn $ABC$ lần lượt cắt các cạnh đối diện tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $D$ song song với $EF$ lần lượt cắt các đường thẳng $AC$ và $AB$ tại $Q$ và $R$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $P$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$ đi qua trung điểm của $BC$.
(IRE) Cho dãy số thực $a_1\ge\cdots\ge a_n\ge a_{n+1}=0$. Chứng minh rằng
$$\sqrt{\sum_{k=1}^n a_k}\le\sum_{k=1}^n\sqrt{k}(\sqrt{a_k}-\sqrt{a_{k+1}}).$$
(IRE) Cho $D$ là một điểm nằm trong cạnh $BC$ của tam giác $ABC$. Đường thẳng $AD$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp $ABC$ tại $X$. Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là chân các đường vuông góc từ $X$ đến $AB$ và $AC$, và gọi $\gamma$ là đường tròn đường kính $XD$. Chứng minh đường thẳng $PQ$ tiếp xúc với $\gamma$ khi và chỉ khi $AB=AC$.