Cho hai số thực $a$, $b$ thỏa mãn $0\lt a\lt b\lt 1$. Định nghĩa các dãy $a_{n}$, $b_{n}$ bởi $a_{0}=a, b_{0}=b$, và $a_{n}=f\left(a_{n-1}\right), b_{n}=f\left(b_{n-1}\right)$ với $n\gt 0$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho
Với dãy số thực $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, định nghĩa giá của dãy là
$$
\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left|x_{1}+\cdots+x_{i}\right|
$$
Cho $n$ số thực, Dave và George muốn sắp chúng thành dãy có giá thấp. Dave chăm chỉ xét mọi cách sắp và tìm được giá nhỏ nhất có thể $D$. George tham lam chọn $x_{1}$ sao cho $\left|x_{1}\right|$ nhỏ nhất; trong các số còn lại, chọn $x_{2}$ sao cho $\left|x_{1}+x_{2}\right|$ nhỏ nhất, và tiếp tục như vậy. Ở bước thứ $i$, cậu chọn $x_{i}$ trong các số còn lại để làm nhỏ nhất $\left|x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{i}\right|$. Nếu nhiều số cho cùng giá trị, George chọn ngẫu nhiên một số. Cuối cùng cậu nhận được dãy có giá $G$.
Tìm hằng số nhỏ nhất $c$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, mọi tập hợp $n$ số thực và mọi dãy George có thể nhận được, các giá tương ứng thỏa mãn $G \leqslant c D$.
Cho $n$ điểm trong hình chữ nhật $R$, không có hai điểm nào nằm trên một đường thẳng song song với một cạnh của $R$. Chia $R$ thành các hình chữ nhật nhỏ có cạnh song song với các cạnh của $R$, sao cho không hình chữ nhật nhỏ nào chứa điểm đã cho trong miền trong của nó. Chứng minh phải chia $R$ thành ít nhất $n+1$ hình chữ nhật nhỏ.
Có $2^{m}$ tờ giấy, mỗi tờ ghi số 1. Trong mỗi bước, chọn hai tờ khác nhau; nếu chúng ghi $a$, $b$, xóa hai số này và ghi $a+b$ lên cả hai tờ. Chứng minh sau $m 2^{m-1}$ bước, tổng các số trên tất cả tờ giấy ít nhất bằng $4^{m}$.
Cho số nguyên $n \geqslant 2$. Xét bàn cờ $n \times n$ chia thành $n^{2}$ ô vuông đơn vị. Một cách đặt $n$ quân xe là vui nếu mỗi hàng và mỗi cột có đúng một quân xe. Tìm số nguyên dương lớn nhất $k$ sao cho với mọi cách đặt vui, có một hình vuông $k \times k$ không chứa quân xe trong bất kỳ ô nào trong $k^{2}$ ô đơn vị của nó.
Ghép hai quân domino $2 \times 1$ dọc theo các cạnh dài, sao cho trung điểm cạnh dài của quân này là một đỉnh của quân kia, tạo một tetromino. Có hai loại tetromino với hướng đối nhau, lần lượt gọi là tetromino S và tetromino Z.
Giả sử đa giác lưới $P$ có thể lát bằng tetromino S. Chứng minh trong mọi cách lát $P$ chỉ bằng tetromino S và Z, số tetromino Z luôn chẵn.
Xét $n \geqslant 3$ đường thẳng trong mặt phẳng, không có hai đường song song và không có ba đường đồng quy. Chúng chia mặt phẳng thành các miền đa giác; gọi $\mathcal{F}$ là tập các miền có diện tích hữu hạn. Chứng minh có thể tô xanh $\lceil\sqrt{n / 2}\rceil$ đường thẳng sao cho không miền nào trong $\mathcal{F}$ có toàn bộ biên màu xanh. (Với số thực $x,\lceil x\rceil$ là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $x$.)
Cho bộ bài vô hạn, mỗi lá ghi một số thực. Với mỗi số thực $x$, có đúng một lá ghi $x$. Hai người lấy hai tập rời nhau $A$, $B$, mỗi tập gồm 100 lá. Muốn định nghĩa một quy tắc xác định người thắng, thỏa mãn:
1. Người thắng chỉ phụ thuộc thứ tự tương đối của 200 lá: nếu xếp chúng tăng dần và úp xuống, chỉ biết mỗi lá thuộc người nào mà không biết số ghi trên lá, vẫn xác định được người thắng.
2. Nếu viết phần tử hai tập tăng dần là $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{100}\right\}$, $B=\left\{b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{100}\right\}$, và $a_{i}\gt b_{i}$ với mọi $i$, thì $A$ thắng $B$.
3. Nếu ba người lấy ba tập rời nhau $A, B, C$, $A$ thắng $B$ và $B$ thắng $C$, thì $A$ cũng thắng $C$.
Có bao nhiêu quy tắc như vậy? Hai quy tắc khác nhau nếu có hai tập $A$, $B$ mà $A$ thắng $B$ theo quy tắc này, nhưng $B$ thắng $A$ theo quy tắc kia.
Cho tập $M$ gồm $n \geqslant 4$ điểm trong mặt phẳng, không có ba điểm thẳng hàng. Ban đầu nối các điểm bằng $n$ đoạn thẳng sao cho mỗi điểm của $M$ là đầu mút đúng hai đoạn. Trong mỗi bước, có thể chọn hai đoạn $A B$, $C D$ có một điểm trong chung và thay bằng $A C$, $B D$, nếu cả hai đoạn mới đều chưa có. Chứng minh không thể thực hiện $n^{3} / 4$ hoặc nhiều hơn số nước đi ấy.
Bộ bài có 1024 lá. Mỗi lá ghi một tập chữ số thập phân phân biệt, không có hai tập trùng nhau (do đó có một lá trống). Hai người luân phiên lấy mỗi lượt một lá. Khi hết bài, mỗi người kiểm tra xem có thể bỏ một lá của mình để mỗi chữ số trong mười chữ số xuất hiện trên số chẵn lá còn lại hay không. Nếu chỉ một người làm được thì người đó thắng; nếu không, hòa.
Tìm mọi nước đi đầu tiên cho phép người đi trước có chiến lược thắng.
Vẽ $n$ đường tròn trên giấy sao cho mỗi cặp cắt nhau tại hai điểm, không có ba đường cùng đi qua một điểm. Ốc sên Turbo trượt dọc các đường tròn như sau. Ban đầu nó đi trên một đường tròn theo chiều kim đồng hồ. Nó tiếp tục trên đường hiện tại đến giao điểm với đường khác, rồi chuyển sang đường mới và đổi chiều chuyển động, từ thuận sang ngược chiều kim đồng hồ hoặc ngược lại.
Giả sử đường đi của Turbo phủ hết tất cả các đường tròn. Chứng minh $n$ lẻ.
Chọn $P$, $Q$ trên cạnh $B C$ của tam giác nhọn $A B C$ sao cho $\angle P A B=\angle A C B$, $\angle Q A C=\angle C B A$. Chọn $M$, $N$ lần lượt trên các tia $A P$, $A Q$ sao cho $A P=P M$, $A Q=Q N$. Chứng minh các đường $B M$, $C N$ cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$.
Cho tam giác $A B C$. Các điểm $K, L$, $M$ lần lượt thuộc các đoạn $B C, C A$, $A B$, sao cho các đường $A K, B L$, $C M$ đồng quy. Chứng minh có thể chọn hai trong các tam giác $A L M, B M K$, $C K L$ có tổng bán kính nội tiếp ít nhất bằng bán kính nội tiếp tam giác $A B C$.
Gọi $\Omega$, $O$ là đường tròn ngoại tiếp và tâm ngoại tiếp của tam giác nhọn $A B C$ với $A B\gt B C$. Phân giác góc $\angle A B C$ cắt $\Omega$ tại $M \neq B$. Gọi $\Gamma$ là đường tròn đường kính $B M$. Phân giác các góc $\angle A O B$, $\angle B O C$ lần lượt cắt $\Gamma$ tại $P$, $Q$. Chọn $R$ trên đường $P Q$ sao cho $B R=M R$. Chứng minh $B R \| A C$. (Ở đây phân giác góc luôn được hiểu là một tia.)
Cho đường tròn cố định $\Gamma$ với ba điểm cố định $A, B$, $C$ trên nó, và số thực cố định $\lambda \in(0,1)$. Với điểm thay đổi $P \notin\{A, B, C\}$ trên $\Gamma$, lấy $M$ trên đoạn $C P$ sao cho $C M=\lambda \cdot C P$. Gọi $Q$ là giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $A M P$, $B M C$. Chứng minh khi $P$ thay đổi, $Q$ nằm trên một đường tròn cố định.
Cho tứ giác lồi $A B C D$ với $\angle B=\angle D=90^{\circ}$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $B D$. Chọn $S$, $T$ lần lượt trên các cạnh $A B$, $A D$ sao cho $H$ nằm trong tam giác $S C T$ và
$$
\angle S H C-\angle B S C=90^{\circ}, \quad \angle T H C-\angle D T C=90^{\circ} .
$$
Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $S H T$ tiếp xúc đường $B D$.
