Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 1972

(BUL 7) IMO 5. Cho $f$ và $\varphi$ là các hàm thực xác định trên tập $\mathbb R$, thỏa mãn phương trình hàm
$$f(x+y)+f(x-y)=2\varphi(y)f(x),\tag{1}$$
với mọi số thực $x,y$ (hãy cho ví dụ về các hàm như vậy). Chứng minh rằng nếu $f(x)$ không đồng nhất bằng $0$ và $|f(x)|\le1$ với mọi $x$, thì $|\varphi(x)|\le1$ với mọi $x$.

(CZS 1) Cho $3n$ điểm $A_1,A_2,\ldots,A_{3n}$ trong mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có thể dựng $n$ tam giác đôi một không giao nhau có các đỉnh là những điểm $A_i$.

(CZS 4) Cho các số thực $x_1,x_2,\ldots,x_n$ thỏa mãn $x_1+x_2+\cdots+x_n=0$. Gọi $m$ là số nhỏ nhất và $M$ là số lớn nhất trong các số đó. Chứng minh rằng
$$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\le-nmM.$$

(GDR 1) Cho $n_1,n_2$ là các số nguyên dương. Trong mặt phẳng $E$, xét hai tập điểm rời nhau $M_1$ và $M_2$ lần lượt gồm $2n_1$ và $2n_2$ điểm, sao cho không có ba điểm nào của hợp $M_1\cup M_2$ thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng $g$ có tính chất sau: mỗi nửa mặt phẳng do $g$ xác định trên $E$ (không kể $g$ trong cả hai nửa mặt phẳng) chứa đúng một nửa số điểm của $M_1$ và đúng một nửa số điểm của $M_2$.

(GDR 2) Chứng minh khẳng định sau: Bốn đường cao của tứ diện $ABCD$ đồng quy khi và chỉ khi
$$AB^2+CD^2=BC^2+AD^2=CA^2+BD^2.$$

(GDR 3) Chứng minh rằng với mọi $n\not\equiv0\pmod{10}$, tồn tại một bội của $n$ không chứa chữ số $0$ trong biểu diễn thập phân.

(GBR 1) IMO 6.
(a) Mặt phẳng $\pi$ đi qua đỉnh $O$ của tứ diện đều $OPQR$. Gọi $p,q,r$ là các khoảng cách có dấu từ $P,Q,R$ đến $\pi$, đo theo một pháp tuyến có hướng của $\pi$. Chứng minh rằng
$$p^2+q^2+r^2+(q-r)^2+(r-p)^2+(p-q)^2=2a^2,$$
trong đó $a$ là độ dài một cạnh của tứ diện.
(b) Cho bốn mặt phẳng song song không phải tất cả đều trùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại một tứ diện đều có một đỉnh nằm trên mỗi mặt phẳng.

(GBR 2) IMO 3. Cho $m$ và $n$ là các số nguyên không âm. Chứng minh rằng $m!n!(m+n)!$ là ước của $(2m)!(2n)!$.

(NET 2) IMO 4. Tìm tất cả các nghiệm là các số thực dương $x_i$ $(i=1,2,3,4,5)$ của hệ bất đẳng thức sau:
$$\begin{aligned}(x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)&\le0&&\text{(i)}\\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)&\le0&&\text{(ii)}\\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)&\le0&&\text{(iii)}\\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)&\le0&&\text{(iv)}\\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)&\le0&&\text{(v)}.\end{aligned}$$

(NET 3) IMO 2. Chứng minh rằng với mỗi $n\ge4$, mọi tứ giác nội tiếp đều có thể chia thành $n$ tứ giác nội tiếp.

(NET 6) Xét dãy đường tròn $K_1,K_2,K_3,K_4,\ldots$ lần lượt có bán kính $r_1,r_2,r_3,r_4,\ldots$, nằm trong tam giác $ABC$. Đường tròn $K_1$ tiếp xúc với $AB$ và $AC$; $K_2$ tiếp xúc với $K_1,BA$ và $BC$; $K_3$ tiếp xúc với $K_2,CA$ và $CB$; $K_4$ tiếp xúc với $K_3,AB$ và $AC$; cứ như vậy.
(a) Chứng minh hệ thức
$$r_1\cot\frac A2+2\sqrt{r_1r_2}+r_2\cot\frac B2=r\left(\cot\frac A2+\cot\frac B2\right),$$
trong đó $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Suy ra sự tồn tại của $t_1$ sao cho
$$r_1=r\cot\frac B2\cot\frac C2\sin^2t_1.$$
(b) Chứng minh dãy đường tròn $K_1,K_2,\ldots$ là tuần hoàn.

(USS 2) IMO 1. Cho một tập gồm $10$ số nguyên dương, mỗi số có hai chữ số trong biểu diễn thập phân. Chứng minh rằng có hai tập con rời nhau của tập đó có tổng các phần tử bằng nhau.