Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 2020

Phiên bản 1. Đặt $n$ là số nguyên dương và đặt $N=2^{n}$. Xác định số thực nhỏ nhất $a_{n}$ sao cho với mọi $x$ thực,

$$
\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant a_{n}(x-1)^{2}+x
$$

Phiên bản 2. Với mọi số nguyên dương $N$, hãy xác định số thực nhỏ nhất $b_{N}$ sao cho với mọi $x$,

$$
\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant b_{N}(x-1)^{2}+x
$$

Đặt $\mathcal{A}$ biểu thị tập hợp tất cả các đa thức ba biến $x, y, z$ với hệ số nguyên. Đặt $\mathcal{B}$ biểu thị tập hợp con của $\mathcal{A}$ được hình thành bởi tất cả các đa thức có thể được biểu thị dưới dạng

$$
(x+y+z) P(x, y, z)+(x y+y z+z x) Q(x, y, z)+x y z R(x, y, z)
$$

với $P, Q, R \in \mathcal{A}$. Tìm số nguyên không âm nhỏ nhất $n$ sao cho $x^{i} y^{j} z^{k} \in \mathcal{B}$ với mọi các số nguyên không âm $i, j, k$ thỏa mãn $i+j+k \geqslant n$.

Giả sử $a, b, c, d$ là các số thực dương thỏa mãn $(a+c)(b+d)=a c+b d$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của

$$
S=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}
$$

Cho $a, b, c, d$ là bốn số thực sao cho $a \geqslant b \geqslant c \geqslant d\gt 0$ và $a+b+c+d=1$. Chứng minh rằng

$$
(a+2 b+3 c+4 d) a^{a} b^{b} c^{c} d^{d}\lt 1
$$

Một nhà ảo thuật dự định thực hiện thủ thuật sau. Cô công bố một số nguyên dương $n$, cùng với $2n$ số thực $x_{1}\lt \ldots\lt x_{2 n}$ cho khán giả. Sau đó, một thành viên của khán giả bí mật chọn một đa thức $P(x)$ của bậc $n$ với các hệ số thực, tính $2n$ giá trị $P\left(x_{1}\right), \ldots, P\left(x_{2 n}\right)$ và ghi $2n$ giá trị này lên bảng đen theo thứ tự không giảm. Sau đó ảo thuật gia công bố đa thức bí mật cho khán giả.

Liệu ảo thuật gia có thể tìm ra chiến lược để thực hiện một tiết mục như vậy không?

Xác định tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ sao cho

$$
f^{a^{2}+b^{2}}(a+b)=a f(a)+b f(b) \quad \text{ cho mọi } a, b \in \mathbb{Z}
$$

Ở đây, $f^{n}$ biểu thị lần lặp thứ $n$ của $f$, tức là $f^{0}(x)=x$ và $f^{n+1}(x)=f\left(f^{n}(x)\right)$ cho tất cả $n \geqslant 0$.

Đặt $n$ và $k$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng với $a_{1}, \ldots, a_{n} \in\left[1,2^{k}\right]$ người ta có

$$
\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{\sqrt{a_{1}^{2}+\ldots+a_{i}^{2}}} \leqslant 4 \sqrt{k n}
$$

Cho $\mathbb{R}^{+}$ là tập hợp các số thực dương. Xác định tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ sao cho, với mọi số thực dương $x$ và $y$,

$$
f(x+f(x y))+y=f(x) f(y)+1
$$

Đặt $n$ là số nguyên dương. Tìm số các hoán vị $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ của

dãy $1,2, \ldots, n$ thỏa mãn

$$
a_{1} \leqslant 2 a_{2} \leqslant 3 a_{3} \leqslant \ldots \leqslant n a_{n}
$$

Trong một đa giác đều 100 đỉnh, 41 đỉnh được tô đen và 59 đỉnh còn lại được tô trắng. Chứng minh rằng tồn tại 24 tứ giác lồi $Q_{1}, \ldots, Q_{24}$, có các đỉnh là đỉnh của đa giác, sao cho:

- các tứ giác $Q_{1}, \ldots, Q_{24}$ đôi một rời nhau;
- mỗi tứ giác $Q_{i}$ có ba đỉnh cùng màu và một đỉnh màu còn lại.

Đặt $n$ là một số nguyên với $n \geqslant 2$. Trên sườn núi, các điểm kiểm tra $n^{2}$ được đánh dấu, đánh số từ 1 đến $n^{2}$ từ dưới lên trên. Mỗi công ty trong số hai công ty cáp treo $A$ và $B$ đều vận hành các cáp treo $k$ được đánh số từ 1 đến $k$; mỗi cáp treo cung cấp dịch vụ chuyển từ một số trạm kiểm soát đến trạm cao hơn. Đối với mỗi công ty và đối với bất kỳ $i$ và $j$ nào có $1 \leqslant i\lt j \leqslant k$, điểm xuất phát của cabin cáp treo $j$ cao hơn điểm xuất phát của cabin cáp treo $i$; Tương tự, điểm về đích của xe $j$ cũng cao hơn điểm về đích của xe $i$. Giả sử hai trạm kiểm soát được liên kết bởi một công ty nào đó nếu một trạm có thể xuất phát từ trạm kiểm soát thấp hơn và đến trạm kiểm soát cao hơn bằng cách sử dụng một hoặc nhiều cabin cáp treo của công ty đó (không được phép đi bộ).

Xác định $k$ nhỏ nhất mà người ta có thể đảm bảo rằng có hai điểm kiểm tra được liên kết bởi mỗi công ty trong số hai công ty.

Các số Fibonacci $F_{0}, F_{1}, F_{2}, \ldots$ được xác định theo cách quy nạp bởi $F_{0}=0, F_{1}=1$ và $F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$ cho $n \geqslant 1$. Cho một số nguyên $n \geqslant 2$, hãy xác định kích thước nhỏ nhất của tập $S$ gồm các số nguyên sao cho với mỗi $k=2,3, \ldots, n$ tồn tại một số $x, y \in S$ sao cho $x-y=F_{k}$.

Đặt $p$ là số nguyên tố lẻ và đặt $N=\frac{1}{4}\left(p^{3}-p\right)-1$. Các số $1,2, \ldots, N$ được sơn tùy ý bằng hai màu đỏ và xanh. Đối với bất kỳ số nguyên dương $n \leqslant N$ nào, biểu thị bằng $r(n)$ là tỉ lệ các số nguyên trong $\{1,2, \ldots, n\}$ có màu đỏ.

Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $a \in\{1,2, \ldots, p-1\}$ sao cho $r(n) \neq a / p$ với mọi $n=1,2, \ldots, N$.

$4 n$ đồng xu có trọng lượng $1,2,3, \ldots, 4 n$ được đưa ra. Mỗi đồng xu được tô màu bằng một trong các màu $n$ và có bốn đồng xu mỗi màu. Chứng minh rằng tất cả những đồng xu này có thể được chia thành hai bộ có tổng khối lượng như nhau, sao cho mỗi bộ chứa hai đồng xu mỗi màu.

Hãy xem xét bất kỳ bảng hình chữ nhật nào có hữu hạn nhiều hàng và cột, với số thực $a(r, c)$ trong ô ở hàng $r$ và cột $c$. Một cặp $(R, C)$, trong đó $R$ là tập hợp các hàng và $C$ là tập hợp cột, được gọi là cặp yên ngựa nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Với mỗi hàng $r^{\prime}$, có $r \in R$ sao cho $a(r, c) \geqslant a\left(r^{\prime}, c\right)$ với mọi $c \in C$;
(ii) Với mỗi cột $c^{\prime}$, có $c \in C$ sao cho $a(r, c) \leqslant a\left(r, c^{\prime}\right)$ cho tất cả $r \in R$.

Một cặp yên ngựa $(R, C)$ được gọi là cặp cực tiểu nếu với mỗi cặp yên ngựa ( $R^{\prime}, C^{\prime}$ ) với $R^{\prime} \subseteq R$ và $C^{\prime} \subseteq C$, ta có $R^{\prime}=R$ và $C^{\prime}=C$.

Chứng minh rằng hai cặp cực tiểu bất kỳ đều chứa cùng số hàng.

Hai người chơi $A$ và $B$ chơi trên bảng ban đầu ghi 2020 số 1. Trong mỗi lượt, $A$ xóa hai số $x$ và $y$; sau đó $B$ ghi một trong hai số $x+y$ và $|x-y|$ lên bảng. Trò chơi kết thúc khi, sau một lượt:
(1) có một số lớn hơn tổng tất cả các số còn lại; hoặc
(2) trên bảng chỉ còn các số 0.

Khi đó $B$ phải đưa cho $A$ số bánh quy bằng số lượng các số còn trên bảng. $A$ muốn nhận nhiều bánh quy nhất, còn $B$ muốn đưa ít nhất. Xác định số bánh quy $A$ nhận được khi cả hai chơi tối ưu.

Giả sử $A B C$ là một tam giác cân với $B C=C A$, và $D$ là một điểm bên trong cạnh $A B$ sao cho $A D\lt D B$. Giả sử $P$ và $Q$ lần lượt là hai điểm bên trong các cạnh $B C$ và $C A$, sao cho $\angle D P B=\angle D Q A=90^{\circ}$. Cho đường trung trực của $P Q$ gặp đoạn thẳng $C Q$ tại $E$, và để các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $A B C$ và $C P Q$ gặp lại nhau tại điểm $F$, khác với $C$.

Giả sử $P, E, F$ thẳng hàng. Chứng minh rằng $\angle A C B=90^{\circ}$.

Cho $A B C D$ là một tứ giác lồi. Giả sử rằng $P$ là một điểm bên trong $A B C D$ sao cho

$$
\angle P A D: \angle P B A: \angle D P A=1: 2: 3=\angle C B P: \angle B A P: \angle B P C .
$$

Các đường phân giác trong của các góc $A D P$ và $P C B$ cắt nhau tại một điểm $Q$ bên trong tam giác $A B P$. Chứng minh rằng $A Q=B Q$.

Cho tứ giác lồi $A B C D$ thỏa mãn $\angle A B C\gt 90^{\circ}, \angle C D A\gt 90^{\circ}$ và $\angle D A B=\angle B C D$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A$ qua các đường thẳng $B C$, $C D$. Giả sử các đoạn $A E$, $A F$ cắt đường thẳng $B D$ lần lượt tại $K$, $L$. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $B E K$ và $D F L$ tiếp xúc nhau.

Trong mặt phẳng, có các đĩa $n \geqslant 6$ rời nhau $D_{1}, D_{2}, \ldots, D_{n}$ với bán kính $R_{1} \geqslant R_{2} \geqslant \ldots \geqslant R_{n}$. Với mỗi $i=1,2, \ldots, n$, một điểm $P_{i}$ được chọn trong đĩa $D_{i}$. Đặt $O$ là một điểm tùy ý trong mặt phẳng. Chứng minh rằng

$$
O P_{1}+O P_{2}+\ldots+O P_{n} \geqslant R_{6}+R_{7}+\ldots+R_{n}
$$

(Hình tròn ở đây được hiểu là bao gồm cả biên.)