Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 2005

Tìm mọi đa thức bậc hai $p(x)$ có hệ số nguyên, hệ số cao nhất bằng một, sao cho tồn tại đa thức $q(x)$ hệ số nguyên mà mọi hệ số của $p(x)q(x)$ đều bằng $\pm1$.

Gọi $ \mathbb{R}^+ $ là tập số thực dương. Tìm mọi hàm $ f: \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+ $ thỏa

$$ f(x)f(y)=2f(x+y f(x)) $$

với mọi số thực dương x, y.

Bốn số thực $p,q,r,s$ thỏa

$$ p+q+r+s=9\quad\text{và}\quad p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}=21. $$

Chứng minh $ab - cd \geq 2$ đúng với một hoán vị $(a,b,c,d)$ của $(p,q,r,s)$.

Tìm mọi hàm $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ thỏa phương trình

$$ f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1 $$

với mọi số thực x, y.

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $xyz\geq1$. Chứng minh

$$ \frac{x^{5}-x^{2}}{x^{5}+y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{5}-y^{2}}{y^{5}+z^{2}+x^{2}}+\frac{z^{5}-z^{2}}{z^{5}+x^{2}+y^{2}}\geq0. $$

Một ngôi nhà có số đèn chẵn, chia trong các phòng sao cho mỗi phòng có ít nhất ba đèn. Mỗi đèn dùng chung công tắc với đúng một đèn khác, có thể ở phòng khác. Mỗi lần bật công tắc đổi trạng thái đồng thời của hai đèn. Chứng minh với mọi trạng thái ban đầu đều có dãy thao tác công tắc để cuối cùng mỗi phòng có cả đèn sáng và đèn tắt.

Cho số nguyên dương cố định k. Một công ty bán mũ sombrero theo cách đặc biệt: mỗi người mua có thể thuyết phục hai người khác mua mũ; thuyết phục người đã được thuyết phục không tính. Mỗi

khách hàng mới lại có thể thuyết phục hai người khác, v.v. Nếu mỗi người trong hai khách hàng do một người thuyết phục làm ít nhất k người khác mua mũ (trực tiếp hoặc gián tiếp), người đó nhận một video hướng dẫn miễn phí. Chứng minh nếu n người mua mũ, có nhiều nhất $ n/(k+2) $ người nhận video.

Trên bảng chữ nhật $ m \times n $ gồm mn ô vuông đơn vị, hai ô kề nhau nếu chung cạnh; đường đi là dãy ô mà hai ô liên tiếp kề nhau. Mỗi ô được tô đen hoặc trắng. Gọi N là số cách tô có ít nhất một đường đen từ cạnh trái sang cạnh phải; M là số cách tô có ít nhất hai đường đen không giao nhau từ trái sang phải. Chứng minh $ N^2 \geq 2^{mn}M $.

Cho số nguyên dương $ n \geq 3 $. Gán mỗi cạnh và đường chéo đa giác đều $ n $ cạnh $ P_1 \ldots P_n $ một số nguyên dương không quá r, sao cho:

(i) Mọi số nguyên từ 1 đến r đều xuất hiện làm nhãn.

(ii) Trong mỗi tam giác $P_{i}P_{j}P_{k}$, hai nhãn bằng nhau và lớn hơn nhãn thứ ba. Với các điều kiện này:

(a) Tìm r lớn nhất có thể.

(b) Với r đó, có bao nhiêu cách gán nhãn?

Có $n$ quân, mỗi quân một mặt trắng, một mặt đen, xếp thành hàng với mặt trắng ngửa. Mỗi bước chọn một quân trắng ngửa không ở hai đầu, bỏ nó rồi lật quân gần nhất bên trái và bên phải. Chứng minh có thể đạt trạng thái chỉ còn hai quân khi và chỉ khi $n-1$ không chia hết cho 3.

Một cuộc thi có 6 bài toán. Mỗi cặp bài được hơn 2/5 số thí sinh giải. Không ai giải cả 6 bài. Chứng minh có ít nhất 2 thí sinh mỗi người giải đúng 5 bài.

Cho số nguyên $ n \geq 1 $ và dãy số nguyên $ a_1, \ldots, a_n $ sao cho $ n $ là ước của tổng $ a_1 + \cdots + a_n $. Chứng minh có các hoán vị $ \sigma $, $ \tau $ của 1, 2, $ \ldots $, $ n $ sao cho $ \sigma(i) + \tau(i) \equiv a_i \pmod{n} $ với mọi $ i = 1, \ldots, n $.

Cho đa giác lồi $M$ có $n$ cạnh, $n \geq 4$. Tô $n-3$ đường chéo xanh và $n-3$ đường chéo khác đỏ, sao cho hai đường cùng màu không cắt nhau trong $M$. Tìm số giao điểm xanh–đỏ lớn nhất trong $M$.

Trong tam giác $ ABC $ thỏa $ AB + BC = 3AC $, đường tròn nội tiếp tâm $ I $ tiếp xúc $ AB $, $ BC $ lần lượt tại $ D $, $ E $. Gọi $ K $, $ L $ là ảnh đối xứng của $ D $, $ E $ qua $ I $. Chứng minh tứ giác $ ACKL $ nội tiếp.

Chọn sáu điểm trên các cạnh tam giác đều ABC: $ A_1, A_2 $ trên BC, $ B_1, B_2 $ trên CA, $ C_1, C_2 $ trên AB. Chúng là các đỉnh của lục giác lồi $ A_1A_2B_1B_2C_1C_2 $ có các cạnh bằng nhau. Chứng minh các đường $ A_1B_2, B_1C_2 $, $ C_1A_2 $ đồng quy.

Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng di động $l$ qua $A$ cắt các tia $BC$, $DC$ lần lượt tại $X$, $Y$. Gọi $K$, $L$ là tâm các đường tròn bàng tiếp của $ABX$, $ADY$, tiếp xúc các cạnh $BX$, $DY$ tương ứng. Chứng minh góc $KCL$ không phụ thuộc lựa chọn $l$.

Cho tứ giác lồi ABCD có BC, AD bằng nhau và không song song. E, F lần lượt nằm trong các cạnh BC, AD, thỏa BE = DF. AC, BD cắt nhau tại P; BD, EF cắt nhau tại Q; EF, AC cắt nhau tại R. Xét các tam giác PQR khi E, F thay đổi. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp chúng có một điểm chung khác P.

Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB \ne AC$, trực tâm $H$, và $M$ là trung điểm $BC$. Các điểm $D$ trên $AB$, $E$ trên $AC$, thỏa $AE = AD$, và $D,H,E$ thẳng hàng. Chứng minh $HM$ vuông góc dây chung của các đường tròn ngoại tiếp $ABC$, $ADE$.

Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt đường tròn nội tiếp $ \omega $ tại K, L. Các đường qua K, L song song BC cắt lại $ \omega $ tại X, Y. AX, AY cắt BC tại P, Q. Chứng minh BP = CQ.

Trong tam giác nhọn $ ABC $, gọi $ D $, $ E $, $ F $, $ P $, $ Q $, $ R $ là chân các đường vuông góc lần lượt từ $ A $, $ B $, $ C $, $ A $, $ B $, $ C $ tới $ BC $, $ CA $, $ AB $, $ EF $, $ FD $, $ DE $. Chứng minh $ p(ABC)p(PQR) \geq p(DEF)^2 $, với $ p(T) $ là chu vi tam giác $ T $.