Cho $k \geqslant 2$ là một số nguyên. Tìm số nguyên nhỏ nhất $n \geqslant k+1$ sao cho tồn tại một tập gồm $n$ số thực phân biệt, trong đó mỗi phần tử đều viết được thành tổng của $k$ phần tử khác đôi một phân biệt của tập.
Cho $\mathbb{R}_{\gt 0}$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}_{\gt 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\gt 0}$ sao cho với mỗi $x \in \mathbb{R}_{\gt 0}$ tồn tại một $y \in \mathbb{R}_{\gt 0}$ duy nhất thỏa mãn
Đặt $n \geqslant 3$ là một số nguyên và đặt $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ là số thực trong khoảng $[0,1]$. Đặt $s=x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}$ và giả sử rằng $s \geqslant 3$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $i$ và $j$ với $1 \leqslant i\lt j \leqslant n$ sao cho
Tìm tất cả các số nguyên dương $n \geqslant 2$ sao cho tồn tại $n$ số thực $a_{1}\lt \cdots\lt a_{n}$ và một số thực $r\gt 0$ để $\frac{1}{2} n(n-1)$ hiệu $a_{j}-a_{i}$, với $1 \leqslant i\lt j \leqslant n$, lần lượt bằng các số $r^{1}, r^{2}, \ldots, r^{\frac{1}{2} n(n-1)}$ theo một thứ tự nào đó.
Cho $\mathbb{R}$ là tập hợp các số thực. Chúng ta biểu thị bằng $\mathcal{F}$ tập hợp tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho
$$
f(x+f(y))=f(x)+f(y)
$$
với mọi $x, y \in \mathbb{R}$. Tìm tất cả các số hữu tỉ $q$ sao cho với mọi hàm số $f \in \mathcal{F}$, tồn tại một số $z \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(z)=q z$.
Với số nguyên dương $n$, ký hiệu $s(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Cho đa thức $P(x)=$ $x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$, trong đó $n \geqslant 2$ và $a_{i}$ là số nguyên dương với mọi $0 \leqslant i \leqslant n-1$. Có thể xảy ra việc với mọi số nguyên dương $k$, hai số $s(k)$ và $s(P(k))$ có cùng tính chẵn lẻ hay không?
Với số nguyên dương $n$, một $n$-dãy là dãy $\left(a_{0}, \ldots, a_{n}\right)$ các số nguyên không âm thỏa mãn: nếu $i$ và $j$ là các số nguyên không âm có $i+j \leqslant n$ thì $a_{i}+a_{j} \leqslant n$ và $a_{a_{i}+a_{j}}=a_{i+j}$.
Gọi $f(n)$ là số lượng $n$-dãy. Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương $c_{1}, c_{2}$ và $\lambda$ sao cho
$\pm 1$-dãy là dãy gồm 2022 số $a_{1}, \ldots, a_{2022}$, mỗi số bằng +1 hoặc -1 . Xác định $C$ lớn nhất sao cho, với mọi $\pm 1$-dãy, tồn tại một số nguyên $k$ và các chỉ số $1 \leqslant t_{1}\lt \ldots\lt t_{k} \leqslant 2022$ sao cho $t_{i+1}-t_{i} \leqslant 2$ với mọi $i$, và
$$
\left|\sum_{i=1}^{k} a_{t_{i}}\right| \geqslant C
$$
Ngân hàng Oslo phát hành đồng xu bằng hai loại kim loại: nhôm (ký hiệu $A$) và đồng (ký hiệu $C$). Morgane có $n$ đồng xu nhôm và $n$ đồng xu đồng, xếp $2 n$ đồng xu thành một hàng theo thứ tự ban đầu tùy ý. Với một số nguyên dương cố định $k \leqslant 2 n$, cô lặp lại thao tác: tìm khối liên tiếp dài nhất gồm các đồng xu cùng kim loại chứa đồng xu thứ $k$ tính từ trái, rồi chuyển toàn bộ khối đó ra đầu bên trái của hàng. Ví dụ, với $n=4$ và $k=4$, từ cấu hình $A A C C C A C A$ ta được
$$
A A C C C A C A \rightarrow C C C A A A C A \rightarrow A A A C C C C A \rightarrow C C C C A A A A \rightarrow \cdots .
$$
Tìm tất cả các cặp $(n, k)$, với $1 \leqslant k \leqslant 2 n$, sao cho với mọi cấu hình ban đầu, sau một thời điểm nào đó sẽ có nhiều nhất một đồng xu nhôm kề một đồng xu đồng.
Trong mỗi ô vuông của khu vườn có hình dạng như một bảng $2022 \times 2022$, ban đầu có một cây chiều cao 0 . Một người làm vườn và một người thợ rừng lần lượt chơi trò chơi sau, trong đó người làm vườn sẽ chơi ở lượt đầu tiên:
- Người làm vườn chọn một ô vuông trong vườn. Mỗi cây trên hình vuông đó và tất cả các hình vuông xung quanh (trong đó có nhiều nhất là 8) sẽ cao hơn một đơn vị.
- Người tiều phu sau đó chọn bốn ô vuông khác nhau trên bảng. Mỗi cây có chiều cao dương trên các ô vuông đó sẽ trở nên ngắn hơn một đơn vị.
Chúng ta nói rằng một cây là cao lớn nếu chiều cao của nó ít nhất là $10^{6}$. Xác định số $K$ lớn nhất sao cho người làm vườn có thể đảm bảo cuối cùng có $K$ những cây cao lớn trên bàn cờ, bất kể người tiều phu chơi như thế nào.
Đặt $n\gt 3$ là số nguyên dương. Giả sử rằng những đứa trẻ $n$ được sắp xếp thành một vòng tròn và các đồng xu $n$ được phân phát giữa chúng (một số trẻ có thể không có đồng xu nào). Ở mỗi bước, một đứa trẻ có ít nhất 2 đồng xu có thể đưa cho mỗi người hàng xóm ở bên phải và bên trái 1 đồng xu. Xác định tất cả các lần phân phối xu ban đầu mà từ đó có thể sau số bước hữu hạn, mỗi đứa trẻ có đúng một đồng xu.
Cho các số nguyên $m, n \geqslant 2$, tập $X$ có $n$ phần tử, và $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m}$ là các tập con không rỗng của $X$, đôi một phân biệt và không nhất thiết rời nhau. Hàm $f: X \rightarrow$ $\{1,2, \ldots, n+1\}$ được gọi là đẹp nếu tồn tại chỉ số $k$ sao cho
$$
\sum_{x \in X_{k}} f(x)\gt \sum_{x \in X_{i}} f(x) \text{ cho tất cả } i \neq k
$$
Cho $n$ là số nguyên dương. Ban đầu có $n$ đống sỏi, mỗi đống chứa một viên. Mỗi bước được chọn hai đống, lấy ra cùng một số viên từ mỗi đống và gộp các viên lấy ra thành một đống mới. Với mỗi số nguyên dương $n$, tìm số đống không rỗng nhỏ nhất có thể đạt được sau hữu hạn bước như vậy.
Lucy viết lên bảng $s$ bộ gồm 2022 số nguyên. Sau đó cô có thể lấy hai bộ đã viết, không nhất thiết phân biệt, $\mathbf{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{2022}\right)$ và $\mathbf{w}=\left(w_{1}, \ldots, w_{2022}\right)$, rồi thực hiện một trong hai phép sau để tạo một bộ mới:
và viết bộ mới lên bảng. Bằng cách này, sau hữu hạn bước Lucy có thể viết được bất kỳ bộ gồm 2022 số nguyên nào. Tìm số lượng $s$ bộ ban đầu nhỏ nhất có thể.
Alice điền các số từ 1 đến $n^{2}$ vào các ô của bảng $n \times n$, mỗi số dùng đúng một lần, rồi đếm tổng số đường đi tốt. Một đường đi tốt là một dãy ô có độ dài tùy ý, kể cả 1, thỏa mãn:
(i) Ô đầu chỉ kề các ô mang số lớn hơn;
(ii) Mỗi ô tiếp theo kề ô ngay trước;
(iii) Các số trên dãy ô tăng dần.
Hai ô được gọi là kề nhau nếu có chung một cạnh. Tìm số đường đi tốt nhỏ nhất Alice có thể thu được, dưới dạng hàm của $n$.
Đặt $\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ là tập hợp các số nguyên không âm và đặt $f: \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \times \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ là song ánh sao cho bất cứ khi nào $f\left(x_{1}, y_{1}\right)\gt f\left(x_{2}, y_{2}\right)$, chúng ta có $f\left(x_{1}+1, y_{1}\right)\gt f\left(x_{2}+1, y_{2}\right)$ và $f\left(x_{1}, y_{1}+1\right)\gt f\left(x_{2}, y_{2}+1\right)$.
Gọi $N$ là số cặp số nguyên $(x, y)$, với $0 \leqslant x, y\lt 100$, sao cho $f(x, y)$ là lẻ. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất có thể có của $N$.
Đặt $A B C D E$ là một hình ngũ giác lồi sao cho $B C=D E$. Giả sử có một điểm $T$ bên trong $A B C D E$ với $T B=T D, T C=T E$ và $\angle T B A=\angle A E T$. Đặt các đường thẳng $C D$ và $C T$ lần lượt cắt đường thẳng $A B$ tại các điểm $P$ và $Q$ và để các đường thẳng $C D$ và $D T$ cắt đường thẳng $A E$ tại các điểm $R$ và $S$ tương ứng. Giả sử rằng các điểm $P, B, A, Q$ và $R, E, A, S$ tương ứng thẳng hàng và xuất hiện trên các đường thẳng của chúng theo thứ tự này. Chứng minh rằng các điểm $P, S, Q, R$ là đồng viên.
Trong tam giác nhọn $A B C$, điểm $F$ là chân của đường cao từ $A$ và $P$ là một điểm trên đoạn $A F$. Các đường thẳng đi qua $P$ song song với $A C$ và $A B$ lần lượt gặp $B C$ tại $D$ và $E$. Các điểm $X \neq A$ và $Y \neq A$ lần lượt nằm trên các đường tròn $A B D$ và $A C E$ sao cho $D A=D X$ và $E A=E Y$.
Đặt $A B C D$ là tứ giác nội tiếp. Giả sử rằng các điểm $Q, A, B, P$ thẳng hàng theo thứ tự này, sao cho đường thẳng $A C$ tiếp xúc với đường tròn $A D Q$ và đường thẳng $B D$ tiếp tuyến với đường tròn $B C P$. Đặt $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $B C$ và $A D$. Chứng minh rằng ba đường thẳng sau đồng quy: đường thẳng $C D$, tiếp tuyến của đường tròn $A N Q$ tại điểm $A$ và tiếp tuyến của đường tròn $B M P$ tại điểm $B$.