Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 1999

N1 (TWN), IMO4. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,p)$ sao cho $p$ là số nguyên tố, $x\le2p$, và $x^{p-1}$ là ước của $(p-1)^x+1$.

N2 (ARM). Chứng minh rằng mọi số hữu tỉ dương đều biểu diễn được dưới dạng $\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}$, trong đó $a,b,c,d$ là các số nguyên dương.

N3 (RUS). Chứng minh tồn tại hai dãy tăng nghiêm ngặt $(a_n)$ và $(b_n)$ sao cho $a_n(a_n+1)$ là ước của $b_n^2+1$ với mọi số tự nhiên $n$.

N4 (FRA). Ký hiệu $S$ là tập tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho độ dài chu kỳ cơ bản của biểu diễn thập phân của $1/p$ chia hết cho $3$. Với mỗi $p\in S$ sao cho $1/p$ có độ dài chu kỳ cơ bản $3r$, ta có thể viết $1/p=0.a_1a_2\ldots a_{3r}a_1a_2\ldots a_{3r}\ldots$, trong đó $r=r(p)$; với mỗi $p\in S$ và mỗi số nguyên $k\ge1$, định nghĩa $f(k,p)$ bởi
$$f(k,p)=a_k+a_{k+r(p)}+a_{k+2r(p)}.$$
(a) Chứng minh $S$ là tập vô hạn.
(b) Tìm giá trị lớn nhất của $f(k,p)$ với $k\ge1$ và $p\in S$.

N5 (ARM). Cho $n,k$ là các số nguyên dương sao cho $n$ không chia hết cho $3$ và $k\ge n$. Chứng minh tồn tại một số nguyên dương $m$ chia hết cho $n$ và có tổng các chữ số trong biểu diễn thập phân bằng $k$.

N6 (BLR). Chứng minh rằng với mỗi số thực $M$ đều tồn tại một cấp số cộng vô hạn sao cho:
(i) mỗi số hạng là số nguyên dương và công sai không chia hết cho $10$;
(ii) tổng các chữ số của mỗi số hạng (trong biểu diễn thập phân) lớn hơn $M$.

G1 (ARM). Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng
$$\min\{MA,MB,MC\}+MA+MB+MC\lt AB+AC+BC.$$

G2 (JAP). Một đường tròn được gọi là đường tròn phân cách của một tập gồm năm điểm trong mặt phẳng nếu nó đi qua ba điểm trong tập, chứa điểm thứ tư ở miền trong và điểm thứ năm nằm ngoài đường tròn.
Chứng minh rằng mọi tập gồm năm điểm mà không có ba điểm thẳng hàng và không có bốn điểm đồng viên đều có đúng bốn đường tròn phân cách.

G3 (EST), IMO1. Một tập $S$ các điểm trong không gian được gọi là hoàn toàn đối xứng nếu có ít nhất ba phần tử và thỏa mãn điều kiện sau: Với mỗi hai điểm phân biệt $A,B$ thuộc $S$, đường trung trực của đoạn $AB$ là một trục đối xứng của $S$.
Chứng minh rằng nếu một tập hoàn toàn đối xứng là hữu hạn thì nó gồm các đỉnh của một đa giác đều, một tứ diện đều hoặc một bát diện đều.

G4 (GBR). Với tam giác $T=ABC$, lấy điểm $X$ trên cạnh $(AB)$ sao cho $AX/XB=4/5$, điểm $Y$ trên đoạn $(CX)$ sao cho $CY=2YX$, và nếu có thể, lấy điểm $Z$ trên tia $(CA$ sao cho $\angle CXZ=180^\circ-\angle ABC$. Ký hiệu $\Sigma$ là tập tất cả các tam giác $T$ thỏa mãn $\angle XYZ=45^\circ$.
Chứng minh rằng tất cả các tam giác thuộc $\Sigma$ đều đồng dạng và tìm số đo góc nhỏ nhất của chúng.

G5 (FRA). Cho tam giác $ABC$, $\Omega$ là đường tròn nội tiếp và $\Omega_a,\Omega_b,\Omega_c$ là ba đường tròn ba đường tròn trực giao với $\Omega$, lần lượt đi qua $B$ và $C$, $A$ và $C$, cùng $A$ và $B$. Các đường tròn $\Omega_a,\Omega_b$ cắt nhau lần nữa tại $C'$; tương tự, ta thu được các điểm $B'$ và $A'$. Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp $A'B'C'$ bằng một nửa bán kính của $\Omega$.

G6 (RUS), IMO5. Hai đường tròn $\Omega_1$ và $\Omega_2$ tiếp xúc trong với đường tròn $\Omega$ tại $M$ và $N$, và tâm của $\Omega_2$ nằm trên $\Omega_1$. Dây chung của các đường tròn $\Omega_1$ và $\Omega_2$ cắt $\Omega$ tại $A$ và $B$. Các đường thẳng $MA$ và $MB$ cắt $\Omega_1$ tại $C$ và $D$. Chứng minh $\Omega_2$ tiếp xúc với $CD$.

G7 (ARM). Điểm $M$ nằm trong tứ giác lồi $ABCD$ thỏa mãn
$$MA=MC,\quad\angle AMB=\angle MAD+\angle MCD,\quad\angle CMD=\angle MCB+\angle MAB.$$
Chứng minh rằng $AB\cdot CM=BC\cdot MD$ và $BM\cdot AD=MA\cdot CD$.

G8 (RUS) Các điểm $A,B,C$ chia đường tròn ngoại tiếp $\Omega$ của tam giác $ABC$ thành ba cung. Gọi $X$ là một điểm di động trên cung $AB$, và gọi $O_1,O_2$ là các tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $CAX$ và $CBX$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $XO_1O_2$ cắt $\Omega$ tại một điểm cố định.

A1 (POL), IMO2. Cho số nguyên cố định $n\ge2$. Tìm hằng số nhỏ nhất $C$ sao cho bất đẳng thức
$$\sum_{i\lt j}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)\le C\left(\sum_i x_i\right)^4$$
đúng với mọi $x_1,\ldots,x_n\ge0$ (tổng ở vế trái gồm $\binom n2$ số hạng). Với hằng số $C$ này, hãy xác định các trường hợp xảy ra đẳng thức.

A2 (RUS). Các số từ $1$ đến $n^2$ được xếp ngẫu nhiên vào các ô của một hình vuông $n\times n$ ($n\ge2$). Với mỗi cặp số nằm trên cùng một hàng hoặc cùng một cột, ta tính tỉ số của số lớn hơn với số nhỏ hơn.
Gọi đặc trưng của cách xếp là số nhỏ nhất trong $n^2(n-1)$ phân số này. Giá trị lớn nhất có thể của đặc trưng là bao nhiêu?

A3 (FIN). Một trò chơi có $n$ bạn gái tham gia ($n\ge2$), mỗi người có một quả bóng. Mỗi cặp trong $\binom n2$ cặp người chơi, theo một thứ tự tùy ý, đổi cho nhau những quả bóng đang giữ ở thời điểm đó. Trò chơi được gọi là hay nếu cuối cùng không ai giữ quả bóng của chính mình, và được gọi là nhàm chán nếu cuối cùng mọi người đều giữ quả bóng ban đầu của mình. Xác định những giá trị $n$ mà tồn tại trò chơi hay và những giá trị mà tồn tại trò chơi nhàm chán.

A4 (BLR). Chứng minh rằng không thể chia tập số nguyên dương thành ba tập con không rỗng sao cho với bất kỳ hai số nguyên $x,y$ lấy từ hai tập con khác nhau, số $x^2-xy+y^2$ thuộc tập con thứ ba.

A5 (JAP), IMO6. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn
$$f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$$
với mọi $x,y\in\mathbb R$.

A6 (SWE). Với $n\ge3$ và các số thực cho trước $a_1\le a_2\le\cdots\le a_n$, thực hiện các chỉ dẫn sau:
(1) xếp các số theo một thứ tự nào đó trên đường tròn;
(2) xóa một số khỏi đường tròn;
(3) nếu chỉ còn hai số trên đường tròn thì gọi $S$ là tổng của chúng. Nếu không, khi còn hơn hai số trên đường tròn, thay $(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{p-1},x_p)$ bởi $(x_1+x_2,x_2+x_3,\ldots,x_{p-1}+x_p,x_p+x_1)$. Sau đó quay lại bước (2).
Chứng minh tổng lớn nhất $S$ có thể thu được bằng cách này được cho bởi công thức
$$S_{\max}=\sum_{k=2}^n\binom{n-2}{\lfloor k/2\rfloor-1}a_k.$$