Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 1995

A1 (RUS), IMO2. Cho $a$, $b$ và $c$ là các số thực dương sao cho $abc=1$. Chứng minh rằng
$$\frac1{a^3(b+c)}+\frac1{b^3(a+c)}+\frac1{c^3(a+b)}\ge\frac32.$$

A2 (SWE). Cho $a$ và $b$ là các số nguyên không âm thỏa mãn $ab\ge c^2$, trong đó $c$ là số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại một số $n$ và các số nguyên $x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n$ sao cho
$$\sum_{i=1}^n x_i^2=a,\qquad\sum_{i=1}^n y_i^2=b,\qquad\sum_{i=1}^n x_iy_i=c.$$

A3 (UKR). Cho số nguyên $n$, $n\ge3$. Cho các số thực $a_1,a_2,\ldots,a_n$ sao cho $2\le a_i\le3$ với $i=1,2,\ldots,n$. Nếu $s=a_1+a_2+\cdots+a_n$, hãy chứng minh rằng
$$\frac{a_1^2+a_2^2-a_3^2}{a_1+a_2-a_3}+\frac{a_2^2+a_3^2-a_4^2}{a_2+a_3-a_4}+\cdots+\frac{a_n^2+a_1^2-a_2^2}{a_n+a_1-a_2}\le2s-2n.$$

A4 (USA). Cho các số thực dương $a$, $b$ và $c$. Xác định tất cả các số thực dương $x$, $y$ và $z$ sao cho
$$x+y+z=a+b+c$$
và
$$4xyz-(a^2x+b^2y+c^2z)=abc.$$

A5 (UKR). Gọi $\mathbb R$ là tập số thực. Có tồn tại hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ đồng thời thỏa mãn ba điều kiện sau không?
(a) Có số dương $M$ sao cho $-M\le f(x)\le M$ với mọi $x$.
(b) $f(1)=1$.
(c) Nếu $x\ne0$ thì
$$f\left(x+\frac1{x^2}\right)=f(x)+\left[f\left(\frac1x\right)\right]^2.$$

A6 (JAP). Cho số nguyên $n$, $n\ge3$. Cho các số thực $x_1,x_2,\ldots,x_n$ sao cho $x_i\lt x_{i+1}$ với $1\le i\le n-1$. Chứng minh rằng
$$\frac{n(n-1)}2\sum_{i\lt j}x_ix_j\gt \left(\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)x_i\right)\left(\sum_{j=2}^n(j-1)x_j\right).$$

G1 (BUL), IMO1. Cho $A$, $B$, $C$ và $D$ là các điểm phân biệt trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Hai đường tròn có đường kính $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $X$ và $Y$. $O$ là điểm tùy ý trên đường thẳng $XY$ nhưng không nằm trên $AD$. $CO$ cắt lại đường tròn đường kính $AC$ tại $M$, còn $BO$ cắt lại đường tròn kia tại $N$. Chứng minh các đường thẳng $AM$, $DN$ và $XY$ đồng quy.

G2 (GER). Cho $A$, $B$ và $C$ là các điểm không thẳng hàng. Chứng minh rằng có duy nhất một điểm $X$ trong mặt phẳng $ABC$ sao cho $XA^2+XB^2+AB^2=XB^2+XC^2+BC^2=XC^2+XA^2+CA^2$.

G3 (TUR). Đường tròn nội tiếp $ABC$ tiếp xúc với $BC$, $CA$ và $AB$ lần lượt tại $D$, $E$ và $F$. $X$ là điểm trong $ABC$ sao cho đường tròn nội tiếp $XBC$ cũng tiếp xúc với $BC$ tại $D$, và tiếp xúc với $CX$, $XB$ lần lượt tại $Y$, $Z$. Chứng minh rằng $EFZY$ là tứ giác nội tiếp.

G4 (UKR). Cho tam giác nhọn $ABC$. Lấy các điểm $A_1$, $A_2$ trên cạnh $BC$ (với $A_2$ nằm giữa $A_1$ và $C$), $B_1$, $B_2$ trên cạnh $AC$ (với $B_2$ nằm giữa $B_1$ và $A$), và $C_1$, $C_2$ trên cạnh $AB$ (với $C_2$ nằm giữa $C_1$ và $B$) sao cho
$$\angle AA_1A_2=\angle AA_2A_1=\angle BB_1B_2=\angle BB_2B_1=\angle CC_1C_2=\angle CC_2C_1.$$
Các đường thẳng $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ tạo thành một tam giác, và các đường thẳng $AA_2$, $BB_2$, $CC_2$ tạo thành tam giác thứ hai. Chứng minh rằng cả sáu đỉnh của hai tam giác này nằm trên một đường tròn.

G5 (NZL), IMO5. Cho lục giác lồi $ABCDEF$ với $AB=BC=CD$, $DE=EF=FA$, và $\angle BCD=\angle EFA=\pi/3$ (tức là $60^\circ$). Cho $G$, $H$ là hai điểm trong lục giác sao cho các góc $AGB$, $DHE$ đều bằng $2\pi/3$ (tức là $120^\circ$). Chứng minh rằng $AG+GB+GH+DH+HE\ge CF$.

G6 (USA). Cho tứ diện $A_1A_2A_3A_4$, trọng tâm $G$, và $A'_1$, $A'_2$, $A'_3$, $A'_4$ là các điểm mà mặt cầu ngoại tiếp $A_1A_2A_3A_4$ cắt $GA_1$, $GA_2$, $GA_3$, $GA_4$ tương ứng. Chứng minh rằng
$$GA_1\cdot GA_2\cdot GA_3\cdot GA_4\le GA'_1\cdot GA'_2\cdot GA'_3\cdot GA'_4$$
và
$$\frac1{GA'_1}+\frac1{GA'_2}+\frac1{GA'_3}+\frac1{GA'_4}\le\frac1{GA_1}+\frac1{GA_2}+\frac1{GA_3}+\frac1{GA_4}.$$

G7 (LAT). $O$ là điểm trong tứ giác lồi $ABCD$ có diện tích $S$. $K$, $L$, $M$, $N$ lần lượt là các điểm trong các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Nếu $OKBL$ và $OMDN$ là các hình bình hành, chứng minh rằng $\sqrt S\ge\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}$, trong đó $S_1$, $S_2$ lần lượt là diện tích của $ONAK$, $OLCM$.

G8 (COL). Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn qua $B$, $C$ cắt lại các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $C'$, $B'$. Chứng minh rằng $BB'$, $CC'$ và $HH'$ đồng quy, trong đó $H$, $H'$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $ABC$, $AB'C'$.

N1 (ROM). Cho số nguyên dương $k$. Chứng minh rằng có vô số số chính phương dạng $n2^k-7$, trong đó $n$ là số nguyên dương.

N2 (RUS). Gọi $\mathbb Z$ là tập tất cả các số nguyên. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $A$, $B$, có thể tìm được số nguyên $C$ sao cho $M_1=\{x^2+Ax+B:x\in\mathbb Z\}$ và $M_2=\{2x^2+2x+C:x\in\mathbb Z\}$ không giao nhau.

N3 (CZE), IMO3. Xác định tất cả các số nguyên $n\gt 3$ sao cho có $n$ điểm $A_1,A_2,\ldots,A_n$ trong mặt phẳng đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
(a) Không có ba điểm nào cùng nằm trên một đường thẳng.
(b) Tồn tại các số thực $p_1,p_2,\ldots,p_n$ sao cho diện tích $\triangle A_iA_jA_k$ bằng $p_i+p_j+p_k$, với $1\le i\lt j\lt k\le n$.

N4 (BUL). Tìm tất cả các số nguyên dương $x$, $y$ sao cho $x+y^2+z^3=xyz$, trong đó $z$ là ước chung lớn nhất của $x$, $y$.

N5 (IRE). Trong một cuộc gặp có $12k$ người, mỗi người chào hỏi đúng $3k+6$ người khác. Với hai người bất kỳ, số người chào hỏi cả hai là như nhau. Có bao nhiêu người trong cuộc gặp?

N6 (POL), IMO6. Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Tìm số tập con có $p$ phần tử $A$ của $\{1,2,\ldots,2p\}$ sao cho tổng mọi phần tử của $A$ chia hết cho $p$.