IMO 2025 — Toàn bộ Shortlist Câu hỏi 1

Trò chơi quadratic solitaire dành cho một người chơi. Ban đầu, người chơi chọn hai số nguyên khác nhau và khác 0 là $a$ và $b$, rồi viết phương trình $x^{2}+ax+b=0$ lên bảng. Ở mỗi lượt, nếu phương trình trên bảng có hai nghiệm nguyên khác nhau và khác 0 là $x=u$ và $x=v$, người chơi xóa phương trình đó và thay bằng một trong hai phương trình $x^{2}+ux+v=0$ hoặc $x^{2}+vx+u=0$, tùy ý. Nếu không, trò chơi kết thúc.

Tìm tất cả các cách chọn a và b ban đầu để trò chơi có thể tiếp diễn mãi mãi.