A1 (SLO) Cho $a,b,$ và $c$ là các số thực dương sao cho $abc=1$. Chứng minh rằng
$$\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\le1.$$
Khi nào xảy ra dấu bằng?
A2 (IRE) Cho $a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n$ là các số thực sao cho
$$a_1^k+a_2^k+\cdots+a_n^k\ge0$$
với mọi số nguyên $k\gt 0$. Đặt $p=\max\{|a_1|,\ldots,|a_n|\}$. Chứng minh rằng $p=a_1$ và
$$(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)\le x^n-a_1^n$$
với mọi $x\gt a_1$.
A3 (GRE) Cho $a\gt 2$, và định nghĩa đệ quy
$$a_0=1,\qquad a_1=a,\qquad a_{n+1}=\left(\frac{a_n^2}{a_{n-1}^2}-2\right)a_n.$$
Chứng minh rằng với mọi $k\in\mathbb N$, ta có
$$\frac1{a_0}+\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_k}\lt \frac12\left(2+a-\sqrt{a^2-4}\right).$$
A4 (KOR) Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực không âm, không đồng thời bằng không.
(a) Chứng minh rằng $x^n-a_1x^{n-1}-\cdots-a_{n-1}x-a_n=0$ có đúng một nghiệm thực dương.
(b) Đặt $A=\sum_{j=1}^na_j$, $B=\sum_{j=1}^nja_j$, và gọi $R$ là nghiệm thực dương của phương trình ở phần (a). Chứng minh rằng
$$A^A\le R^B.$$
A5 (ROM) Cho $P(x)$ là hàm đa thức thực $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Chứng minh rằng nếu $|P(x)|\le1$ với mọi $x$ thỏa mãn $|x|\le1$, thì
$$|a|+|b|+|c|+|d|\le7.$$
A6 (IRE) Cho $n$ là số nguyên dương chẵn. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho
$$k=f(x)(x+1)^n+g(x)(x^n+1)$$
với một số đa thức $f(x),g(x)$ có hệ số nguyên. Nếu $k_0$ là số $k$ nhỏ nhất như vậy, hãy xác định $k_0$ theo $n$.
A6′ Cho $n$ là số nguyên dương chẵn. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho
$$k=f(x)(x+1)^n+g(x)(x^n+1)$$
với một số đa thức $f(x),g(x)$ có hệ số nguyên. Nếu $k_0$ là số $k$ nhỏ nhất như vậy, chứng minh rằng $k_0=2^q$, trong đó $q$ là số nguyên lẻ được xác định bởi $n=q2^r$, $r\in\mathbb N$.
A6″ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại các đa thức $f(x),g(x)$ có hệ số nguyên sao cho
$$f(x)(x+1)^{2^n}+g(x)(x^{2^n}+1)=2.$$
A7 (ARM) Cho $f$ là một hàm từ tập số thực $\mathbb R$ vào chính nó sao cho với mọi $x\in\mathbb R$, ta có $|f(x)|\le1$ và
$$f\left(x+\frac{13}{42}\right)+f(x)=f\left(x+\frac16\right)+f\left(x+\frac17\right).$$
Chứng minh rằng $f$ là hàm tuần hoàn (nghĩa là tồn tại một số thực $c$ khác không sao cho $f(x+c)=f(x)$ với mọi $x\in\mathbb R$).
A8 (ROM) IMO3 Gọi $\mathbb N_0$ là tập các số nguyên không âm. Tìm tất cả các hàm $f$ từ $\mathbb N_0$ vào chính nó sao cho
$$f(m+f(n))=f(f(m))+f(n),\qquad\forall m,n\in\mathbb N_0.$$
A9 (POL) Cho dãy $a(n)$, $n=1,2,3,\ldots$, được xác định như sau: $a(1)=0$, và với $n\gt 1$,
$$a(n)=a([n/2])+(-1)^{\frac{n(n+1)}2}.$$
(Ở đây $[t]$ = số nguyên lớn nhất $\le t$.)
(a) Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $a(n)$ với $n\le1996$ và tìm tất cả $n\le1996$ mà tại đó đạt các giá trị cực trị này.
(b) Có bao nhiêu số hạng $a(n)$, $n\le1996$, bằng $0$?
G1 (GBR) Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, và cho $P$ là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp của nó, khác $A,B,C$. Gọi $E$ là chân đường cao $BH$, cho $PAQB$ và $PARC$ là các hình bình hành, và cho $AQ$ cắt $HR$ tại $X$. Chứng minh rằng $EX$ song song với $AP$.
G2 (CAN) IMO2 Cho $P$ là một điểm nằm trong $\triangle ABC$ sao cho
$$\angle APB-\angle C=\angle APC-\angle B.$$
Gọi $D,E$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của $\triangle APB,\triangle APC$. Chứng minh rằng $AP,BD$ và $CE$ đồng quy.
G3 (GBR) Cho $ABC$ là tam giác nhọn với $BC\gt CA$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, $H$ là trực tâm, và $F$ là chân đường cao $CH$. Cho đường vuông góc với $OF$ tại $F$ cắt cạnh $CA$ tại $P$. Chứng minh rằng $\angle FHP=\angle BAC$.
Phần thứ hai có thể thêm: Điều gì xảy ra nếu $|BC|\le|CA|$ (tam giác vẫn nhọn)?
G4 (USA) Cho $\triangle ABC$ là tam giác đều và $P$ là một điểm bên trong nó. Cho các đường thẳng $AP,BP,CP$ lần lượt cắt các cạnh $BC,CA,AB$ tại các điểm $A_1,B_1,C_1$. Chứng minh rằng
$$A_1B_1\cdot B_1C_1\cdot C_1A_1\ge A_1B\cdot B_1C\cdot C_1A.$$
G5 (ARM) IMO5 Cho $ABCDEF$ là lục giác lồi sao cho $AB$ song song với $DE$, $BC$ song song với $EF$, và $CD$ song song với $AF$. Gọi $R_A,R_C,R_E$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $FAB,BCD,DEF$, và gọi $P$ là chu vi lục giác. Chứng minh rằng
$$R_A+R_C+R_E\ge\frac P2.$$
G6 (ARM) Cho các cạnh của hai hình chữ nhật là $\{a,b\}$ và $\{c,d\}$ với $a\lt c\le d\lt b$ và $ab\lt cd$. Chứng minh rằng hình chữ nhật thứ nhất có thể đặt bên trong hình chữ nhật thứ hai khi và chỉ khi
$$(b^2-a^2)^2\le(bd-ac)^2+(bc-ad)^2.$$
G7 (GBR) Cho $ABC$ là tam giác nhọn có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ và bán kính ngoại tiếp $R$. Cho $AO$ cắt lại đường tròn $BOC$ tại $A'$, cho $BO$ cắt lại đường tròn $COA$ tại $B'$, và cho $CO$ cắt lại đường tròn $AOB$ tại $C'$. Chứng minh rằng
$$OA'\cdot OB'\cdot OC'\ge8R^3.$$
Khi nào xảy ra dấu bằng?
G8 (RUS) Cho $ABCD$ là tứ giác lồi, và gọi $R_A,R_B,R_C,$ cùng $R_D$ lần lượt là bán kính ngoại tiếp các tam giác $DAB,ABC,BCD,$ và $CDA$. Chứng minh rằng $R_A+R_C\gt R_B+R_D$ khi và chỉ khi
$$\angle A+\angle C\gt \angle B+\angle D.$$
G9 (UKR) Trong mặt phẳng cho một điểm $O$ và một đa giác $\mathcal F$ (không nhất thiết lồi). Gọi $P$ là chu vi của $\mathcal F$, $D$ là tổng khoảng cách từ $O$ đến các đỉnh của $\mathcal F$, và $H$ là tổng khoảng cách từ $O$ đến các đường thẳng chứa các cạnh của $\mathcal F$. Chứng minh rằng
$$D^2-H^2\ge\frac{P^2}4.$$
N1 (UKR) Bốn số nguyên được ghi trên một đường tròn. Ở mỗi bước, đồng thời thay mỗi số bằng hiệu của số đó và số tiếp theo trên đường tròn, theo một chiều cho trước (tức là các số $a,b,c,d$ được thay bằng $a-b,b-c,c-d,d-a$). Sau $1996$ bước như vậy, liệu có thể có các số $a,b,c,d$ sao cho các số $|bc-ad|,|ac-bd|,|ab-cd|$ đều là số nguyên tố không?
N2 (RUS) IMO4 Các số nguyên dương $a$ và $b$ thỏa mãn các số $15a+16b$ và $16a-15b$ đều là bình phương của các số nguyên dương. Giá trị nhỏ nhất có thể của số nhỏ hơn trong hai số chính phương này là bao nhiêu?