Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 2010

Xác định mọi hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho đẳng thức

$$
f([x] y)=f(x)[f(y)] .
$$

đúng với mọi $x, y \in \mathbb{R}$. Ở đây, $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.

Cho các số thực $a, b, c, d$ thỏa mãn $a+b+c+d=6$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=12$. Chứng minh rằng

$$
36 \leq 4\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}\right)-\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}\right) \leq 48
$$

Cho các số thực không âm $x_{1}, \ldots, x_{100}$ sao cho $x_{i}+x_{i+1}+x_{i+2} \leq 1$ với mọi $i=1, \ldots, 100$; quy ước $x_{101}=x_{1}, x_{102}=x_{2}$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của tổng

$$
S=\sum_{i=1}^{100} x_{i} x_{i+2}
$$

Dãy $x_{1}, x_{2}, \ldots$ được xác định bởi $x_{1}=1$ và $x_{2 k}=-x_{k}, x_{2 k-1}=(-1)^{k+1} x_{k}$ với mọi $k \geq 1$. Chứng minh $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \geq 0$ với mọi $n \geq 1$.

Ký hiệu $\mathbb{Q}^{+}$ là tập các số hữu tỉ dương. Xác định mọi hàm $f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+}$ thỏa mãn phương trình sau với mọi $x, y \in \mathbb{Q}^{+}$:

$$
f\left(f(x)^{2} y\right)=x^{3} f(x y)
$$

Cho hai hàm $f$, $g$ xác định trên tập số nguyên dương và nhận giá trị nguyên dương. Giả sử các đẳng thức $f(g(n))=f(n)+1$ và $g(f(n))=$ $g(n)+1$ đúng với mọi số nguyên dương. Chứng minh $f(n)=g(n)$ với mọi số nguyên dương $n$.

Cho các số thực dương $a_{1}, \ldots, a_{r}$. Với $n\gt r$, định nghĩa bằng quy nạp

$$
a_{n}=\max _{1 \leq k \leq n-1}\left(a_{k}+a_{n-k}\right)
$$

Chứng minh tồn tại các số nguyên dương $\ell \leq r$, $N$ sao cho $a_{n}=a_{n-\ell}+a_{\ell}$ với mọi $n \geq N$.

Cho sáu số dương $a, b, c, d, e, f$ sao cho $a\lt b\lt c\lt d\lt e\lt f$. Đặt $a+c+e=S$ và $b+d+f=T$. Chứng minh

$$
2 S T\gt \sqrt{3(S+T)(S(b d+b f+d f)+T(a c+a e+c e))}
$$

Trong một buổi hòa nhạc có 20 ca sĩ biểu diễn. Với mỗi ca sĩ, có một tập các ca sĩ khác, có thể rỗng, mà người ấy muốn biểu diễn sau tất cả những người trong tập đó. Có thể xảy ra trường hợp có đúng 2010 thứ tự biểu diễn thỏa mãn mong muốn của tất cả các ca sĩ hay không?

Trên một hành tinh có $2^{N}$ quốc gia, $(N \geq 4)$. Mỗi quốc gia có lá cờ rộng $N$ đơn vị, cao một đơn vị, gồm $N$ ô kích thước $1 \times 1$; mỗi ô được tô vàng hoặc xanh. Không có hai quốc gia có cùng lá cờ.

Một tập gồm $N$ lá cờ được gọi là đa dạng nếu có thể xếp chúng thành hình vuông $N \times N$ sao với mọi $N$ ô trên đường chéo chính cùng màu. Xác định số nguyên dương nhỏ nhất $M$ sao cho trong bất kỳ $M$ lá cờ phân biệt nào cũng có $N$ lá cờ tạo thành một tập đa dạng.

Đặt 2500 quân vua lên bàn cờ $100 \times 100$ sao cho:
(i) không quân vua nào có thể bắt quân khác, tức là không có hai quân vua nằm trong hai ô có chung một đỉnh;
(ii) mỗi hàng và mỗi cột có đúng 25 quân vua.

Tìm số cách đặt như vậy. Hai cách thu được từ nhau bằng phép quay hoặc đối xứng vẫn được coi là khác nhau.

Sáu chồng xu $S_{1}, \ldots, S_{6}$ được đặt thành một hàng. Ban đầu mỗi chồng có một đồng xu. Có hai loại nước đi được phép:
Nước đi 1: Nếu chồng $S_{k}$, với $1 \leq k \leq 5$, có ít nhất một đồng xu, có thể lấy một đồng từ $S_{k}$ và thêm hai đồng vào $S_{k+1}$.
Nước đi 2: Nếu chồng $S_{k}$, với $1 \leq k \leq 4$, có ít nhất một đồng xu, có thể lấy một đồng từ $S_{k}$ và đổi chỗ hai chồng $S_{k+1}$, $S_{k+2}$.
Xác định có thể thực hiện một dãy nước đi để năm chồng đầu rỗng, còn chồng thứ sáu $S_{6}$ chứa đúng $2010^{2010^{2010}}$ đồng xu hay không.

Biến thể C4′. Như bài C4, nhưng thay hằng số $2010^{2010^{2010}}$ bằng $2010^{2010}$.

Có $n \geq 4$ người tham gia một giải quần vợt. Mỗi cặp đấu đúng một trận và không có trận hòa. Một nhóm bốn người được gọi là xấu nếu một người thua cả ba người kia, còn trong ba người kia, mỗi người thắng một trận và thua một trận khi đấu với nhau. Giả sử giải không có nhóm xấu. Gọi $w_{i}$, $\ell_{i}$ lần lượt là số trận thắng và thua của người thứ $i$. Chứng minh

$$
\sum_{i=1}^{n}\left(w_{i}-\ell_{i}\right)^{3} \geq 0
$$

Cho số nguyên dương $k$ và hai số nguyên $b\gt w\gt 1$. Có hai chuỗi ngọc: một chuỗi gồm $b$ viên đen, một chuỗi gồm $w$ viên trắng. Độ dài chuỗi là số viên ngọc trên chuỗi.

Cắt các chuỗi qua nhiều bước theo quy tắc sau. Ở mỗi bước:
(i) Xếp các chuỗi theo độ dài không tăng. Nếu bằng nhau, chuỗi trắng đứng trước chuỗi đen. Chọn $k$ chuỗi đầu có nhiều hơn một viên; nếu có ít hơn $k$ chuỗi dài hơn 1, chọn tất cả chúng.
(ii) Cắt mỗi chuỗi đã chọn thành hai phần có độ dài chênh nhau không quá một.
Chẳng hạn, nếu có các chuỗi ngọc đen dài $5,4,4,2$, các chuỗi ngọc trắng dài $8,4,3$, và $k=4$, thì các chuỗi 8 viên trắng, 5 viên đen, 4 viên trắng và 4 viên đen lần lượt được cắt thành $(4,4),(3,2),(2,2)$ và $(2,2)$.

Quá trình dừng ngay sau bước mà lần đầu xuất hiện một viên ngọc trắng đứng riêng. Chứng minh lúc đó vẫn còn một chuỗi có ít nhất hai viên ngọc đen.

Cho các cấp số cộng gồm số nguyên $P_{1}, \ldots, P_{s}$, thỏa mãn:
(i) mỗi số nguyên thuộc ít nhất một cấp số;
(ii) mỗi cấp số chứa một số không thuộc cấp số nào khác.

Gọi $n$ là bội chung nhỏ nhất của các công sai; cho $n=p_{1}^{\alpha_{1}} \ldots p_{k}^{\alpha_{k}}$ là phân tích nó ra thừa số nguyên tố. Chứng minh

$$
s \geq 1+\sum_{i=1}^{k} \alpha_{i}\left(p_{i}-1\right)
$$

Cho tam giác nhọn $A B C$, với $D, E, F$ lần lượt là chân các đường cao trên $B C, C A, A B$. Một giao điểm của đường $E F$ với đường tròn ngoại tiếp là $P$. Các đường $B P$, $D F$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh $A P=A Q$.

Điểm $P$ nằm trong tam giác $A B C$. Các đường $A P, B P, C P$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp $A B C$ lần lượt tại $K, L, M$. Tiếp tuyến của đường tròn tại $C$ cắt đường $A B$ tại $S$. Chứng minh $S C=S P$ khi và chỉ khi $M K=M L$.

Cho đa giác lồi $A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$. Chọn điểm $P$ bên trong sao cho các hình chiếu $P_{1}, \ldots, P_{n}$ lên các đường $A_{1} A_{2}, \ldots, A_{n} A_{1}$ lần lượt nằm trên các cạnh của đa giác. Chứng minh với các điểm tùy ý $X_{1}, \ldots, X_{n}$ lần lượt trên các cạnh $A_{1} A_{2}, \ldots, A_{n} A_{1}$, ta có

$$
\max \left\{\frac{X_{1} X_{2}}{P_{1} P_{2}}, \ldots, \frac{X_{n} X_{1}}{P_{n} P_{1}}\right\} \geq 1
$$

Gọi $I$ là tâm nội tiếp tam giác $A B C$, và $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp. Đường $A I$ cắt $\Gamma$ tại $D \neq A$. Cho $F$, $E$ lần lượt nằm trên cạnh $B C$ và $\operatorname{arc} B D C$, sao cho $\angle B A F=\angle C A E\lt \frac{1}{2} \angle B A C$. Gọi $G$ là trung điểm đoạn $I F$. Chứng minh các đường $D G$, $E I$ cắt nhau trên $\Gamma$.

Cho ngũ giác lồi $A B C D E$ thỏa mãn $B C \| A E, A B=B C+A E$ và $\angle A B C=$ $\angle C D E$. Gọi $M$ là trung điểm $C E$, và $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $B C D$. Biết $\angle D M O=90^{\circ}$, chứng minh $2 \angle B D A=\angle C D E$.