(AUS 1) Các địa điểm $P_1,P_2,\ldots,P_{1983}$ được phục vụ bởi mười hãng hàng không quốc tế $A_1,A_2,\ldots,A_{10}$. Người ta nhận thấy giữa hai địa điểm bất kỳ đều có chuyến bay trực tiếp (không dừng) và lịch bay của mọi hãng đều có các chuyến bay khứ hồi. Chứng minh rằng ít nhất một hãng có thể thực hiện một hành trình khép kín với số lần hạ cánh lẻ.
(BEL 1) Cho $n$ là số nguyên dương. Gọi $\sigma(n)$ là tổng các ước tự nhiên $d$ của $n$ (kể cả $1$ và $n$). Ta nói số nguyên $m\ge1$ là siêu dồi dào (P. Erdős, 1944) nếu $\forall k\in\{1,2,\ldots,m-1\},\ \frac{\sigma(m)}m>\frac{\sigma(k)}k$. Chứng minh rằng có vô hạn số siêu dồi dào.
(BEL 3) IMO4. Ta nói một tập điểm $E$ trong mặt phẳng Euclid là “Pythagore” nếu với mọi cách phân hoạch $E$ thành hai tập $A$ và $B$, ít nhất một tập chứa các đỉnh của một tam giác vuông. Hãy xác định các tập sau có là tập Pythagore hay không:
(a) một đường tròn;
(b) một tam giác đều (nghĩa là tập gồm ba đỉnh và các điểm trên ba cạnh).
(BEL 5) Trên các cạnh của tam giác $ABC$, dựng ba tam giác cân đồng dạng $ABP$ $(AP=PB)$, $AQC$ $(AQ=QC)$ và $BRC$ $(BR=RC)$. Hai tam giác đầu được dựng ra phía ngoài tam giác $ABC$, còn tam giác thứ ba nằm trong cùng nửa mặt phẳng bờ $BC$ với tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $APRQ$ là hình bình hành.
(BRA 1) Xét tập tất cả các dãy giảm nghiêm ngặt gồm $n$ số tự nhiên sao cho trong mỗi dãy, không có số hạng nào là ước của một số hạng khác. Cho $A=(a_j)$ và $B=(b_j)$ là hai dãy bất kỳ như vậy. Ta nói $A$ đứng trước $B$ nếu có một $k$ sao cho $a_k\lt b_k$ và $a_i=b_i$ với $i\lt k$. Tìm các số hạng của dãy đầu tiên trong tập theo thứ tự này.
(CAN 2) Giả sử $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x_1+x_2+\cdots+x_n=2(n+1)$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $r$ với $0\le r\le n-1$ sao cho $n-1$ bất đẳng thức sau đúng:
$$\begin{aligned}x_{r+1}+\cdots+x_{r+i}&\le2i+1&&\forall i,\ 1\le i\le n-r;\\x_{r+1}+\cdots+x_n+x_1+\cdots+x_i&\le2(n-r+i)+1&&\forall i,\ 1\le i\le r-1.\end{aligned}$$
Chứng minh rằng nếu tất cả các bất đẳng thức đều nghiêm ngặt thì $r$ là duy nhất; nếu không thì có đúng hai giá trị $r$ như vậy.
(CAN 5) Cho $a$ là số nguyên dương và dãy $\{a_n\}$ được xác định bởi $a_0=0$ và
$$a_{n+1}=(a_n+1)a+(a+1)a_n+2\sqrt{a(a+1)a_n(a_n+1)}\qquad(n=1,2\ldots).$$
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, $a_n$ là số nguyên dương.
(SPA 2) Có $3n$ học sinh dự một bài kiểm tra, ngồi thành ba hàng, mỗi hàng có $n$ học sinh. Các học sinh lần lượt rời phòng kiểm tra. Nếu $N_1(t),N_2(t),N_3(t)$ lần lượt là số học sinh ở hàng thứ nhất, thứ hai và thứ ba tại thời điểm $t$, hãy tìm xác suất để tại mỗi thời điểm $t$ trong bài kiểm tra,
$$|N_i(t)-N_j(t)|\lt 2,\qquad i\ne j,\qquad i,j=1,2,\ldots\ .$$
(USA 3) IMO6. Nếu $a,b,$ và $c$ là độ dài các cạnh của một tam giác, hãy chứng minh rằng
$$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge0.$$
Xác định khi nào xảy ra dấu bằng.
(FIN 1) Cho $p$ và $q$ là các số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại một khoảng $I$ có độ dài $1/q$ và một đa thức $P$ với hệ số nguyên sao cho
$$\left|P(x)-\frac pq\right|\lt \frac1{q^2}$$
với mọi $x\in I$.
(FIN 2′) Cho hàm liên tục $f:[0,1]\to\mathbb R$ thỏa mãn:
$$\begin{aligned}bf(2x)&=f(x),&&0\le x\le1/2;\\f(x)&=b+(1-b)f(2x-1),&&1/2\le x\le1,\end{aligned}$$
trong đó $b=\frac{1+c}{2+c}$, $c>0$. Chứng minh rằng $0\lt f(x)-x\lt c$ với mọi $x$, $0\lt x\lt 1$.
(GBR 4) IMO1. Tìm tất cả các hàm $f$ xác định trên các số thực dương và nhận giá trị thực dương, thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) $f(xf(y))=yf(x)$ với mọi số thực dương $x,y$.
(ii) $f(x)\to0$ khi $x\to+\infty$.
(LUX 2) Gọi $E$ là tập gồm $1983^3$ điểm trong không gian $\mathbb R^3$ có cả ba tọa độ là số nguyên từ $0$ đến $1982$ (kể cả $0$ và $1982$). Một cách tô màu $E$ là một ánh xạ từ $E$ vào tập {đỏ, xanh}. Có bao nhiêu cách tô màu $E$ thỏa mãn tính chất sau: Số đỉnh đỏ trong $8$ đỉnh của một hình hộp chữ nhật bất kỳ là bội của $4$?
(POL 2) IMO5. Chứng minh hoặc bác bỏ: Từ khoảng $[1,\ldots,30000]$, có thể chọn một tập gồm $1000$ số nguyên không chứa bộ ba cấp số cộng (ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng).
(POL 3) Xác định xem có tồn tại tập số tự nhiên $M$ thỏa mãn các điều kiện sau hay không:
(i) Với mọi số tự nhiên $m>1$, tồn tại $a,b\in M$ sao cho $a+b=m$.
(ii) Nếu $a,b,c,d\in M$, $a,b,c,d>10$ và $a+b=c+d$ thì $a=c$ hoặc $a=d$.
(GDR 1) Gọi $F(n)$ là tập các đa thức $P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$, với $a_0,a_1,\ldots,a_n\in\mathbb R$ và $0\le a_0=a_n\le a_1=a_{n-1}\le\cdots\le a_{[n/2]}=a_{[(n+1)/2]}$. Chứng minh rằng nếu $f\in F(m)$ và $g\in F(n)$ thì $fg\in F(m+n)$.
(GDR 3) Cho $P_1,P_2,\ldots,P_n$ là các điểm phân biệt trong mặt phẳng, $n\ge2$. Chứng minh rằng
$$\max_{1\le i\lt j\le n}P_iP_j>\frac{\sqrt3}{2}(\sqrt n-1)\min_{1\le i\lt j\le n}P_iP_j.$$
(FRG 3) IMO3. Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $(a,b)=(b,c)=(c,a)=1$. Chứng minh rằng $2abc-ab-bc-ca$ là số nguyên lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng
$$xbc+yca+zab$$
với các số nguyên không âm $x,y,z$.
(ROM 1) Cho $(F_n)_{n\ge1}$ là dãy Fibonacci $F_1=F_2=1$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ $(n\ge1)$, và $P(x)$ là đa thức bậc $990$ thỏa mãn
$$P(k)=F_k,\qquad k=992,\ldots,1982.$$
Chứng minh rằng $P(1983)=F_{1983}-1$.
(ROM 3) Giải hệ phương trình
$$\begin{aligned}x_1|x_1|&=x_2|x_2|+(x_1-a)|x_1-a|,\\x_2|x_2|&=x_3|x_3|+(x_2-a)|x_2-a|,\\&\cdots\\x_n|x_n|&=x_1|x_1|+(x_n-a)|x_n-a|,\end{aligned}$$
trong tập số thực, với $a>0$.