(LUX) IMO1. Tứ giác lồi $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc. Các đường trung trực của $AB$ và $CD$ cắt nhau tại một điểm duy nhất $P$ nằm trong $ABCD$. Chứng minh rằng $ABCD$ nội tiếp khi và chỉ khi hai tam giác $ABP$ và $CDP$ có diện tích bằng nhau.
(POL) Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$. Các điểm $E$ và $F$ di động lần lượt trên các cạnh $AB$ và $CD$ sao cho $AE:EB=CF:FD$. Gọi $P$ là điểm trên đoạn $EF$ sao cho $PE:PF=AB:CD$. Chứng minh rằng tỉ số diện tích hai tam giác $APD$ và $BPC$ không phụ thuộc vào cách chọn $E$ và $F$.
(UKR) IMO5. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Gọi $K,L$ và $M$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp $ABC$ với $AB,BC$ và $CA$. Đường thẳng $t$ đi qua $B$ và song song với $KL$. Các đường thẳng $MK$ và $ML$ cắt $t$ tại $R$ và $S$. Chứng minh rằng $\angle RIS$ nhọn.
(ARM) Cho $M$ và $N$ là các điểm bên trong tam giác $ABC$ sao cho
$$\angle MAB=\angle NAC\qquad\angle MBA=\angle NBC.$$
Chứng minh rằng
$$\frac{AM\cdot AN}{AB\cdot AC}+\frac{BM\cdot BN}{BA\cdot BC}+\frac{CM\cdot CN}{CA\cdot CB}=1.$$
(FRA) Cho tam giác $ABC$, với trực tâm $H$, tâm ngoại tiếp $O$ và bán kính ngoại tiếp $R$. Gọi $D$ là ảnh đối xứng của $A$ qua $BC$, $E$ là ảnh của $B$ qua $CA$, và $F$ là ảnh của $C$ qua $AB$. Chứng minh rằng $D,E$ và $F$ thẳng hàng khi và chỉ khi $OH=2R$.
(POL) Cho lục giác lồi $ABCDEF$ sao cho $\angle B+\angle D+\angle F=360^\circ$ và
$$\frac{AB}{BC}\cdot\frac{CD}{DE}\cdot\frac{EF}{FA}=1.$$
Chứng minh rằng
$$\frac{BC}{CA}\cdot\frac{AE}{EF}\cdot\frac{FD}{DB}=1.$$
(GBR) Cho tam giác $ABC$ sao cho $\angle ACB=2\angle ABC$. Lấy $D$ trên cạnh $BC$ sao cho $CD=2BD$. Kéo dài đoạn $AD$ đến $E$ sao cho $AD=DE$. Chứng minh rằng
$$\angle ECB+180^\circ=2\angle EBC.$$
(IND) Cho tam giác $ABC$ sao cho $\angle A=90^\circ$ và $\angle B\lt \angle C$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp $\omega$ cắt đường thẳng $BC$ tại $D$. Gọi $E$ là ảnh đối xứng của $A$ qua $BC$, $X$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BE$, và $Y$ là trung điểm của $AX$. Đường thẳng $BY$ cắt lại $\omega$ tại $Z$. Chứng minh rằng đường thẳng $BD$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADZ$.
(MON) Cho các số thực dương $a_1,a_2,\ldots,a_n$ sao cho $a_1+a_2+\cdots+a_n\lt 1$. Chứng minh rằng
$$\frac{a_1a_2\cdots a_n[1-(a_1+a_2+\cdots+a_n)]}{(a_1+a_2+\cdots+a_n)(1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_n)}\le\frac1{n^{n+1}}.$$
(AUS) Cho các số thực $r_1,r_2,\ldots,r_n$ lớn hơn hoặc bằng $1$. Chứng minh rằng
$$\frac1{r_1+1}+\frac1{r_2+1}+\cdots+\frac1{r_n+1}\ge\frac{n}{\sqrt[n]{r_1r_2\cdots r_n}+1}.$$
(RUS) Cho các số thực dương $x,y$ và $z$ sao cho $xyz=1$. Chứng minh rằng
$$\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}\ge\frac34.$$
(POL) Cho các số nguyên $n\ge k\ge0$. Các số $c(n,k)$ được định nghĩa như sau:
$$c(n,0)=c(n,n)=1\qquad(n\ge0);$$
$$c(n+1,k)=2^kc(n,k)+c(n,k-1)\qquad(n\ge k\ge1).$$
Chứng minh rằng $c(n,k)=c(n,n-k)$ với mọi $n\ge k\ge0$.
(BUL) IMO6. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $f(1998)$, trong đó $f$ là hàm từ tập $\mathbb N$ các số nguyên dương vào chính nó sao cho với mọi $m,n\in\mathbb N$,
$$f(n^2f(m))=m[f(n)]^2.$$
(AUS) Tìm mọi cặp số thực $(a,b)$ sao cho $a\lfloor bn\rfloor=b\lfloor an\rfloor$ với mọi số nguyên dương $n$. (Kí hiệu $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.)
(UKR) Tìm số nguyên nhỏ nhất $n\ge4$ sao cho có thể chọn bốn số khác nhau $a,b,c$ và $d$ từ bất kì $n$ số nguyên phân biệt nào mà $a+b-c-d$ chia hết cho $20$.
(GBR) Dãy số nguyên $a_1,a_2,a_3,\ldots$ được định nghĩa như sau: $a_1=1$, và với $n\ge1$, $a_{n+1}$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $a_n$ sao cho $a_i+a_j\ne3a_k$ với mọi $i,j,k$ thuộc $\{1,2,\ldots,n+1\}$, không nhất thiết phân biệt. Tìm $a_{1998}$.
(BLR) IMO3. Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\tau(n)$ là số ước dương của nó (kể cả $1$ và chính nó). Tìm mọi số nguyên dương $m$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn $\frac{\tau(n^2)}{\tau(n)}=m$.
(ARG) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại số nguyên dương có các tính chất sau:
(i) Nó có đúng $n$ chữ số.
(ii) Không chữ số nào bằng $0$.
(iii) Nó chia hết cho tổng các chữ số của nó.