Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 1985

(MON 1), IMO4. Cho một tập hợp $M$ gồm 1985 số nguyên dương, không số nào có ước nguyên tố lớn hơn 26. Chứng minh rằng tập hợp có bốn phần tử phân biệt mà trung bình nhân của chúng là một số nguyên.

(BRA 3) Một đa diện có 12 mặt và thỏa mãn:
(i) mọi mặt đều là tam giác cân,
(ii) mọi cạnh đều có độ dài $x$ hoặc $y$,
(iii) tại mỗi đỉnh có 3 hoặc 6 cạnh gặp nhau, và
(iv) mọi góc nhị diện đều bằng nhau.
Tìm tỉ số $x/y$.

(NET 3), IMO3. Trọng số $w(p)$ của một đa thức $p$, $p(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$, với các hệ số nguyên $a_i$ được định nghĩa là số hệ số lẻ của nó. Với $i=0,1,2,\ldots$, đặt $q_i(x)=(1+x)^i$. Chứng minh rằng với mọi dãy hữu hạn $0\le i_1\lt i_2\lt \cdots\lt i_n$, ta có bất đẳng thức
$$w(q_{i_1}+\cdots+q_{i_n})\ge w(q_{i_1})$$.

(AUS 1), IMO2. Mỗi số trong tập $N=\{1,2,3,\ldots,n-1\}$, với $n\ge3$, được tô một trong hai màu, chẳng hạn đỏ hoặc đen, sao cho:
(i) $i$ và $n-i$ luôn được tô cùng màu, và
(ii) với một $j\in N$ nào đó nguyên tố cùng nhau với $n$, các số $i$ và $|j-i|$ được tô cùng màu với mọi $i\in N$, $i\ne j$.
Chứng minh rằng mọi số trong $N$ phải được tô cùng màu.

(ROM 1) Gọi $D$ là miền trong của đường tròn $C$ và cho $A\in C$. Chứng minh rằng hàm số $f:D\to\mathbb R$, $f(M)=\frac{|MA|}{|MM'|}$, trong đó $M'=(AM\cap C$, là lồi nghiêm ngặt; nghĩa là $f(P)\lt \frac{f(M_1)+f(M_2)}2$, $\forall M_1,M_2\in D$, $M_1\ne M_2$, trong đó $P$ là trung điểm của đoạn thẳng $M_1M_2$.

(POL 1) Đặt $x_n=\sqrt[2]{2+\sqrt[3]{3+\cdots+\sqrt[n]{n}}}$. Chứng minh rằng
$$x_{n+1}-x_n\lt \frac1{n!},\qquad n=2,3,\ldots.$$

1a. (CZS 3) Các số nguyên dương $x_1,\ldots,x_n$, $n\ge3$, thỏa mãn $x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n\lt 2x_1$. Đặt $P=x_1x_2\cdots x_n$. Chứng minh rằng nếu $p$ là một số nguyên tố, $k$ là một số nguyên dương và $P$ chia hết cho $p^k$ thì $\frac P{p^k}\ge n!$.

1b. (TUR 5) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho
(i) $n$ có đúng 144 ước nguyên dương phân biệt, và
(ii) trong các ước nguyên dương của $n$ có mười số nguyên liên tiếp.

2a. (USA 3) Xác định bán kính của mặt cầu $S$ đi qua trọng tâm của mỗi mặt của một tứ diện $T$ cho trước nội tiếp mặt cầu đơn vị tâm $O$. Đồng thời, xác định khoảng cách từ $O$ đến tâm của $S$ theo độ dài các cạnh của $T$.

2b. (VIE 1) Chứng minh rằng với mỗi điểm $M$ trên mặt một tứ diện đều, tồn tại một điểm $M'$ sao cho có ít nhất ba đường cong khác nhau trên mặt nối $M$ với $M'$ và có độ dài nhỏ nhất trong tất cả các đường cong trên mặt nối $M$ với $M'$.

3a. (USS 3) Tìm một phương pháp để tính các hệ số của $P(x)=x^6+a_1x^5+\cdots+a_6$ từ các nghiệm của $P(x)=0$ bằng không quá 15 phép cộng và 15 phép nhân.

3b. (GBR 4) Một dãy đa thức $P_m(x,y,z)$, $m=0,1,2,\ldots$, theo $x,y$ và $z$ được định nghĩa bởi $P_0(x,y,z)=1$ và
$$P_m(x,y,z)=(x+z)(y+z)P_{m-1}(x,y,z+1)-z^2P_{m-1}(x,y,z)$$
với $m>0$. Chứng minh rằng mỗi $P_m(x,y,z)$ là đối xứng, nghĩa là không thay đổi dưới bất kì hoán vị nào của $x,y,z$.

4a. (BUL 1) Cho $m$ hộp, mỗi hộp có một số quả bóng. Cho số nguyên $n\lt m$. Thực hiện thao tác sau: chọn $n$ hộp và đặt thêm 1 quả bóng vào mỗi hộp ấy. Chứng minh:
(a) Nếu $m$ và $n$ nguyên tố cùng nhau thì có thể thực hiện thao tác hữu hạn lần để mọi hộp có số bóng bằng nhau.
(b) Nếu $m$ và $n$ không nguyên tố cùng nhau thì tồn tại những cách phân bố bóng ban đầu trong các hộp mà không thể đạt được phân bố đều.

4b. (IRE 4) Một tập hợp 1985 điểm được phân bố trên một đường tròn và mỗi điểm được ghi số 1 hoặc $-1$. Một điểm được gọi là “tốt” nếu mọi tổng từng phần tạo thành bằng cách bắt đầu tại điểm đó và đi quanh đường tròn một khoảng tùy ý theo một trong hai chiều đều dương nghiêm ngặt. Chứng minh rằng nếu số điểm ghi $-1$ nhỏ hơn 662 thì phải có ít nhất một điểm tốt.

5a. (FRA 3) Cho $K$ và $K'$ là hai hình vuông trong cùng một mặt phẳng, có cạnh dài bằng nhau. Có thể chia $K$ thành hữu hạn tam giác $T_1,T_2,\ldots,T_p$ có phần trong đôi một không giao nhau và tìm các phép tịnh tiến $t_1,t_2,\ldots,t_p$ sao cho
$$K'=\bigcup_{i=1}^p t_i(T_i)?$$

5b. (BEL 2) Nếu có thể, hãy dựng một tam giác đều có ba đỉnh lần lượt nằm trên ba đường tròn cho trước.

6a. (SWE 3), IMO6. Dãy hàm số $f_1,f_2,\ldots,f_n,\ldots$ được định nghĩa với $x>0$ theo hệ thức truy hồi
$$f_1(x)=x,\qquad f_{n+1}(x)=f_n(x)\left(f_n(x)+\frac1n\right).$$
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một số dương $a$ sao cho $0\lt f_n(a)\lt f_{n+1}(a)\lt 1$ với mọi số nguyên $n\ge1$.

6b. (CAN 5) Cho $x_1,x_2,\ldots,x_n$ là các số dương. Chứng minh rằng
$$\frac{x_1^2}{x_1^2+x_2x_3}+\frac{x_2^2}{x_2^2+x_3x_4}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1}^2+x_nx_1}+\frac{x_n^2}{x_n^2+x_1x_2}\le n-1.$$

(ISR 3) Với những số nguyên $n\ge3$ nào tồn tại một đa giác đều $n$ cạnh trong mặt phẳng mà mọi đỉnh đều có tọa độ nguyên trong một hệ tọa độ vuông góc?

(GBR 5), IMO1. Một đường tròn có tâm nằm trên cạnh $ED$ của tứ giác nội tiếp $BCDE$ và tiếp xúc với ba cạnh còn lại. Chứng minh rằng $EB+CD=ED$.