Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 2007

Cho dãy số thực $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$. Với mỗi $i(1 \leq i \leq n)$, định nghĩa

$$
d_{i}=\max \left\{a_{j}: 1 \leq j \leq i\right\}-\min \left\{a_{j}: i \leq j \leq n\right\}
$$

và đặt

$$
d=\max \left\{d_{i}: 1 \leq i \leq n\right\}
$$

(a) Chứng minh với mọi số thực $x_{1} \leq x_{2} \leq \ldots \leq x_{n}$, ta có

$$
\max \left\{\left|x_{i}-a_{i}\right|: 1 \leq i \leq n\right\} \geq \frac{d}{2}
$$

(b) Chứng minh tồn tại dãy số thực $x_{1} \leq x_{2} \leq \ldots \leq x_{n}$ để đẳng thức xảy ra trong (1).

Xét các hàm $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn

$$
f(m+n) \geq f(m)+f(f(n))-1
$$

với mọi $m, n \in \mathbb{N}$. Tìm mọi giá trị có thể của $f(2007)$.

($\mathbb{N}$ là tập số nguyên dương.)

Cho số nguyên dương $n$ và các số thực dương $x$, $y$ thỏa mãn $x^{n}+y^{n}=1$. Chứng minh

$$
\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1+x^{2 k}}{1+x^{4 k}}\right)\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1+y^{2 k}}{1+y^{4 k}}\right)\lt \frac{1}{(1-x)(1-y)}
$$

Tìm mọi hàm $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn

$$
f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)
$$

với mọi $x, y \in \mathbb{R}^{+}$. Ký hiệu $\mathbb{R}^{+}$ là tập các số thực dương.

Cho $c\gt 2$ và dãy số thực không âm $a(1), a(2), \ldots$ thỏa mãn

$$
a(m+n) \leq 2 a(m)+2 a(n) \text{ cho tất cả } m, n \geq 1 \text {, }
$$

và

$$
a\left(2^{k}\right) \leq \frac{1}{(k+1)^{c}} \quad \text{ cho tất cả } k \geq 0
$$

Chứng minh dãy $a(n)$ bị chặn.

Cho các số thực không âm $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{100}$ thỏa mãn $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{100}^{2}=1$. Chứng minh

$$
a_{1}^{2} a_{2}+a_{2}^{2} a_{3}+\ldots+a_{100}^{2} a_{1}\lt \frac{12}{25}
$$

Cho số nguyên $n\gt 1$. Trong không gian, xét tập

$$
S=\{(x, y, z) \mid x, y, z \in\{0,1, \ldots, n\}, x+y+z\gt 0\}
$$

Tìm số mặt phẳng ít nhất sao cho hợp của chúng chứa tất cả $(n+1)^{3}-1$ điểm của $S$, nhưng không mặt phẳng nào đi qua gốc tọa độ.

Cho số nguyên $n\gt 1$. Tìm mọi dãy $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n^{2}+n}$ thỏa mãn:

(a) $a_{i} \in\{0,1\}$ với mọi $1 \leq i \leq n^{2}+n$;

(b) $a_{i+1}+a_{i+2}+\ldots+a_{i+n}\lt a_{i+n+1}+a_{i+n+2}+\ldots+a_{i+2 n}$ với mọi $0 \leq i \leq n^{2}-n$.

Một hình vuông đơn vị được chia thành $n\gt 1$ hình chữ nhật có các cạnh song song với các cạnh hình vuông. Mỗi đường thẳng song song với một cạnh hình vuông và cắt miền trong hình vuông cũng cắt miền trong của một hình chữ nhật. Chứng minh có một hình chữ nhật không chứa điểm nào trên biên hình vuông.

Tìm mọi số nguyên dương $n$ sao cho có thể tô đỏ hoặc xanh các số trong tập $S=\{1,2, \ldots, n\}$, thỏa mãn: tập $S \times S \times S$ chứa đúng 2007 bộ ba có thứ tự $(x, y, z)$ sao cho (i) $x, y, z$ cùng màu và (ii) $x+y+z$ chia hết cho $n$.

Cho dãy hữu hạn các số thực $A_{0}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$. Với mỗi $k \geq 0$, từ dãy $A_{k}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, xây dựng dãy mới $A_{k+1}$ như sau.

1. Chọn phân hoạch $\{1, \ldots, n\}=I \cup J$, trong đó $I$, $J$ rời nhau, sao cho

$$
\left|\sum_{i \in I} x_{i}-\sum_{j \in J} x_{j}\right|
$$

đạt giá trị nhỏ nhất có thể. Cho phép $I$ hoặc $J$ rỗng; tổng tương ứng khi đó bằng 0. Nếu có nhiều phân hoạch như vậy, chọn tùy ý một phân hoạch.

2. Đặt $A_{k+1}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$, trong đó $y_{i}=x_{i}+1$ nếu $i \in I$, và $y_{i}=x_{i}-1$ nếu $i \in J$.

Chứng minh với một giá trị $k$, dãy $A_{k}$ chứa phần tử $x$ thỏa mãn $|x| \geq n / 2$.

Trong mặt phẳng tọa độ Descartes, với mỗi số nguyên $S_{n}=\{(x, y) \mid n \leq x\lt n+1\}$, định nghĩa dải $n$. Giả sử mỗi dải $S_{n}$ được tô đỏ hoặc xanh. Cho hai số nguyên dương phân biệt $a$, $b$. Chứng minh có một hình chữ nhật với độ dài các cạnh $a$, $b$ mà các đỉnh cùng màu.

Trong một cuộc thi toán, một số thí sinh là bạn của nhau; quan hệ bạn bè luôn đối xứng. Một nhóm thí sinh được gọi là clique nếu mọi hai người trong nhóm đều là bạn. Số thành viên là kích thước của clique.

Biết kích thước lớn nhất của các clique là số chẵn. Chứng minh có thể xếp thí sinh vào hai phòng sao cho kích thước clique lớn nhất trong hai phòng bằng nhau.

Cho số thực dương $\alpha\lt \frac{3-\sqrt{5}}{2}$. Chứng minh tồn tại các số nguyên dương $n$, $p\gt \alpha \cdot 2^{n}$ sao cho có thể chọn $2 p$ tập con đôi một phân biệt $S_{1}, \ldots, S_{p}, T_{1}, \ldots, T_{p}$ của tập $\{1,2, \ldots, n\}$, thỏa mãn $S_{i} \cap T_{j} \neq \varnothing$ với mọi $1 \leq i, j \leq p$.

Cho đa giác lồi $n$ cạnh $P$ trong mặt phẳng. Với mỗi ba đỉnh của $P$, xét tam giác do chúng xác định. Tam giác được gọi là tốt nếu mọi cạnh có độ dài 1.

Chứng minh có nhiều nhất $\frac{2}{3} n$ tam giác tốt.

Trong tam giác $A B C$, đường phân giác tại đỉnh $C$ cắt đường tròn ngoại tiếp và các đường trung trực của $B C$, $C A$ lần lượt tại $R, P$, $Q$. Gọi $B C$, $C A$ lần lượt là trung điểm của $S$, $T$. Chứng minh các tam giác $R Q T$, $R P S$ có cùng diện tích.

Cho tam giác cân $A B C$ có $A B=A C$. Gọi $B C$ là trung điểm của $M$. Điểm $X$ thay đổi trên cung nhỏ $M A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B M$. Gọi $T$ là điểm trong miền góc $B M A$ thỏa mãn $\angle T M X=90^{\circ}$, $T X=B X$. Chứng minh $\angle M T B-\angle C T M$ không phụ thuộc $X$.

Hai đường chéo của hình thang $A B C D$ cắt nhau tại $P$. Điểm $Q$ nằm giữa hai đường thẳng song song $B C$, $A D$, thỏa mãn $\angle A Q D=\angle C Q B$, và đường thẳng $C D$ ngăn cách hai điểm $P$, $Q$. Chứng minh $\angle B Q P=\angle D A Q$.

Cho năm điểm $A, B, C, D, E$ sao cho $A B C D$ là hình bình hành và $B C E D$ là tứ giác nội tiếp. Đường thẳng $\ell$ đi qua $A$; $\ell$ cắt đoạn $D C$ và đường thẳng $B C$ lần lượt tại $F$, $G$. Giả sử $E F=E G=E C$. Chứng minh $\ell$ là phân giác góc $D A B$.

Cho tam giác cố định $A B C$; $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ lần lượt là trung điểm của $B C, C A, A B$. Điểm $P$ thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp. Các đường thẳng $P A_{1}, P B_{1}, P C_{1}$ cắt lại đường tròn lần lượt tại $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$. Giả sử các điểm $A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ phân biệt và các đường thẳng $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}$ tạo thành một tam giác. Chứng minh diện tích tam giác này không phụ thuộc $P$.