Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 2001

Đặt $T$ ký hiệu tập của tất cả các bộ ba có thứ tự $(p, q, r)$ của các số nguyên không âm. Tìm tất cả các hàm $f: T \to \mathbb{R}$ sao cho

$$f(p,q,r)=\begin{cases}0,&pqr=0,\\1+\frac16\bigl(f(p+1,q-1,r)+f(p-1,q+1,r)+f(p-1,q,r+1)+f(p+1,q,r-1)+f(p,q+1,r-1)+f(p,q-1,r+1)\bigr),&pqr\ne0.\end{cases}$$

Đặt $a_0, a_1, a_2, \ldots$ là một dãy vô hạn tùy ý của các số dương. Chứng minh rằng bất đẳng thức $1 + a_n \gt a_{n-1}\sqrt[n]{2}$ đúng cho vô số các số nguyên dương $n$.

Cho $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ là số thực tùy ý. Chứng minh bất đẳng thức

$$ \frac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}+\frac{x_{2}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{x_{n}}{1+x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}} \lt \sqrt{n}. $$

Tìm tất cả các hàm $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, thỏa mãn

$$ f(xy)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x)f(y) $$

với mọi $x, y$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $ a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} $ sao cho

$$ \frac{99}{100}=\frac{a_{0}}{a_{1}}+\frac{a_{1}}{a_{2}}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_{n}}, $$

trong đó $ a_{0}=1 $ và $ (a_{k+1}-1)a_{k-1}\geq a_{k}^{2}(a_{k}-1) $ cho $ k=1,2,\ldots,n-1 $.

Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a, b, c$,

$$ \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq1. $$

Đặt $ A = (a_1, a_2, \ldots, a_{2001}) $ là dãy của các số nguyên dương. Gọi m là số dãy con 3-phần tử $ (a_i, a_j, a_k) $ với $ 1 \leq i \lt j \lt k \leq 2001 $, sao cho $ a_j = a_i + 1 $ và $ a_k = a_j + 1 $. Xét tất cả các dãy A như vậy, tìm giá trị lớn nhất của m.

Đặt $n$ là số nguyên lẻ lớn hơn 1 và đặt $c_1, c_2, \ldots, c_n$ là các số nguyên. Đối với mỗi hoán vị $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ của $\{1, 2, \ldots, n\}$, hãy xác định $S(a) = \sum_{i=1}^{n} c_i a_i$. Chứng minh rằng tồn tại các hoán vị $a \neq b$ của $\{1, 2, \ldots, n\}$ sao cho $n!$ là ước của $S(a) - S(b)$.

Gọi một nhóm k người mà mọi cặp trong nhóm đều quen nhau là một k-clique. Trong một bữa tiệc, hai 3-clique bất kỳ luôn có ít nhất một người chung, và không tồn tại 5-clique. Chứng minh rằng có thể cho không quá hai người rời bữa tiệc để không còn 3-clique nào.

Một tập gồm ba số nguyên không âm $\{x,y,z\}$ với $x\lt y\lt z$ được gọi là tập lịch sử nếu $\{z-y,y-x\}=\{1776,2001\}$. Chứng minh rằng tập tất cả các số nguyên không âm có thể được viết thành hợp của các tập lịch sử đôi một rời nhau.

Tìm tất cả các dãy hữu hạn $(x_0, x_1, \ldots, x_n)$ sao cho với mọi $j, 0 \leq j \leq n$, $x_j$ bằng số lần $j$ xuất hiện trong dãy.

Với một số nguyên dương n, gọi một dãy các ký hiệu 0 và 1 là cân bằng nếu nó chứa n ký hiệu 0 và n ký hiệu 1. Hai dãy cân bằng a và b được gọi là láng giềng nếu có thể chuyển một trong 2n ký hiệu của a sang một vị trí khác để được b. Chẳng hạn, khi n = 4, hai dãy cân bằng 01101001 và 00110101 là láng giềng: có thể chuyển ký hiệu 0 thứ ba (hoặc thứ tư) của dãy thứ nhất đến vị trí thứ nhất hoặc thứ hai để được dãy thứ hai. Chứng minh rằng tồn tại một tập S gồm không quá $\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ dãy cân bằng sao cho mỗi dãy cân bằng hoặc thuộc S, hoặc là láng giềng của ít nhất một dãy trong S.

Một chồng n viên sỏi được xếp thành một cột thẳng đứng. Ta thay đổi cấu hình theo quy tắc sau: có thể di chuyển viên sỏi trên cùng của một cột nếu cột đó có nhiều hơn cột ngay bên phải ít nhất hai viên sỏi. Nếu bên phải chưa có sỏi, xem đó là một cột có 0 viên sỏi. Mỗi bước chọn một viên sỏi có thể di chuyển (nếu có) rồi đặt lên trên cùng của cột ngay bên phải. Khi không còn viên sỏi nào có thể di chuyển, gọi cấu hình là cấu hình cuối cùng. Với mỗi n, chứng minh rằng dù lựa chọn các nước đi thế nào, cấu hình cuối cùng thu được luôn duy nhất. Hãy mô tả cấu hình đó theo n.

Phiên bản thay thế. Một chồng 2001 viên sỏi được xếp thành một cột thẳng đứng. Ta thay đổi cấu hình theo quy tắc sau: có thể di chuyển viên sỏi trên cùng của một cột nếu cột đó có nhiều hơn cột ngay bên phải ít nhất hai viên sỏi. Nếu bên phải chưa có sỏi, xem đó là một cột có 0 viên sỏi. Mỗi bước chọn một viên sỏi có thể di chuyển (nếu có) rồi đặt lên trên cùng của cột ngay bên phải. Khi không còn viên sỏi nào có thể di chuyển, gọi cấu hình là cấu hình cuối cùng. Chứng minh rằng dù lựa chọn các nước đi thế nào, cấu hình cuối cùng thu được luôn duy nhất. Mô tả cấu hình đó bằng cách xác định số cột không rỗng $c$ và, với mỗi $i=1,2,\ldots,c$, số sỏi $p_i$ trong cột $i$. Cột 1 là cột ngoài cùng bên trái, cột 2 là cột tiếp theo bên phải, và cứ như vậy.

Hai mươi mốt bạn nữ và hai mươi mốt bạn nam tham gia một cuộc thi toán. Biết rằng:

(a) mỗi thí sinh giải được không quá sáu bài;

(b) với mỗi cặp gồm một bạn nữ và một bạn nam, có ít nhất một bài được cả hai giải được.

Chứng minh rằng có một bài được ít nhất ba bạn nữ và ít nhất ba bạn nam giải được.

Đặt $A_{1}$ là tâm của hình vuông nội tiếp trong tam giác nhọn $ABC$ với hai đỉnh của hình vuông trên cạnh $BC$. Do đó, một trong hai đỉnh còn lại của hình vuông nằm trên cạnh $AB$ và cái còn lại nằm trên $AC$. Điểm $B_{1}, C_{1}$ được xác định theo cách tương tự cho các hình vuông nội tiếp có hai đỉnh lần lượt trên các cạnh $AC$ và $AB$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ đồng quy.

Trong tam giác nhọn $ABC$ với tâm ngoại tiếp $O$ và đường cao $AP, \angle C \geq \angle B + 30^\circ$. Chứng minh rằng $\angle A + \angle COP \lt 90^\circ$.

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Xác định và chứng minh vị trí của điểm $P$ trong mặt phẳng tam giác $ABC$ để $AP\cdot AG+BP\cdot BG+CP\cdot CG$ đạt giá trị nhỏ nhất; biểu diễn giá trị nhỏ nhất theo độ dài các cạnh của tam giác $ABC$.

Cho M là một điểm trong miền trong của tam giác ABC. Cho $ A' $ nằm trên BC với $ MA' $ vuông góc trên BC. Xác định $ B' $ trên CA và $ C' $ trên AB tương tự. Xác định

$$ p(M)=\frac{MA^{\prime}\cdot MB^{\prime}\cdot MC^{\prime}}{MA\cdot MB\cdot MC}. $$

Xác định, với chứng minh, vị trí của $M$ sao cho $p(M)$ là cực đại. Đặt $\mu(ABC)$ ký hiệu giá trị lớn nhất này. Với các tam giác $ABC$ nào là giá trị của $\mu(ABC)$ cực đại?

Đặt $ABC$ là tam giác nhọn. Đặt $DAC, EAB$ và $FBC$ là cân các tam giác bên ngoài $ABC$, với $DA = DC, EA = EB$ và $FB = FC$, sao cho

$$ \angle ADC=2\angle BAC,\quad\angle BEA=2\angle ABC,\quad\angle CFB=2\angle ACB. $$

Đặt $D'$ là giao điểm của các đường thẳng $DB$ và $EF$, đặt $E'$ là giao điểm của $EC$ và $DF$ và đặt $F'$ là giao điểm của $FA$ và $DE$. Tìm, với chứng minh, giá trị của tổng

$$ \frac{DB}{DD^{\prime}}+\frac{EC}{EE^{\prime}}+\frac{FA}{FF^{\prime}}. $$

Cho tam giác $ABC$ và một điểm $P$ nằm ngoài tam giác, trong cùng mặt phẳng. Giả sử các đường thẳng $AP,BP,CP$ cắt các cạnh $BC,CA,AB$ hoặc phần kéo dài của chúng lần lượt tại $D,E,F$. Giả sử thêm rằng diện tích các tam giác $PBD,PCE,PAF$ bằng nhau. Chứng minh rằng mỗi diện tích này đều bằng diện tích tam giác $ABC$.