(BUL 6) Cho tứ diện $ABCD$ nội tiếp mặt cầu $S$. Tìm quỹ tích các điểm $P$ nằm trong mặt cầu $S$ thỏa mãn đẳng thức
$$\frac{AP}{PA_1}+\frac{BP}{PB_1}+\frac{CP}{PC_1}+\frac{DP}{PD_1}=4$$
trong đó $A_1$, $B_1$, $C_1$ và $D_1$ lần lượt là giao điểm của $S$ với các đường thẳng $AP$, $BP$, $CP$ và $DP$.
(CZS 6) (IMO 1) Chứng minh rằng tổng của một số lẻ vectơ đơn vị cùng đi qua điểm $O$ và nằm trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ đi qua $O$ có độ dài lớn hơn hoặc bằng $1$.
(GBR 1) Cho $P$ là tập gồm $7$ số nguyên tố khác nhau và $C$ là tập gồm $28$ hợp số khác nhau, mỗi số là tích của hai số (không nhất thiết khác nhau) thuộc $P$. Chia tập $C$ thành $7$ tập con đôi một rời nhau, mỗi tập có bốn phần tử, sao cho mỗi số trong một tập con có ước nguyên tố chung với ít nhất hai số khác trong tập con đó. Có bao nhiêu cách phân hoạch $C$ như vậy?
(FRA 2) Một đường tròn bán kính $1$ nằm trong một góc tam diện vuông và tiếp xúc với tất cả các mặt của nó. Tìm quỹ tích tâm của những đường tròn như vậy.
(POL 2) (IMO 2) Có tồn tại tập hữu hạn $M$ gồm các điểm trong không gian, không cùng nằm trên một mặt phẳng, sao cho với mỗi hai điểm $A,B\in M$ đều có hai điểm khác $C,D\in M$ mà các đường thẳng $AB$ và $CD$ song song hay không?
(ROM 1) Chứng minh rằng có đúng $\binom{k}{[k/2]}$ dãy $a_1,a_2,\ldots,a_{k+1}$ gồm các số nguyên không âm sao cho $a_1=0$ và $|a_i-a_{i+1}|=1$ với $i=1,2,\ldots,k$.
(ROM 2) Cho ba tia $Ox,Oy,Oz$ và điểm $G$ nằm trong góc tam diện $Oxyz$. Xét tất cả các mặt phẳng đi qua $G$ và cắt $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$. Phải đặt mặt phẳng như thế nào để tứ diện $OABC$ có tổng độ dài các cạnh nhỏ nhất?
(SWE 3) (IMO 6) Cho các số dương $a_1,a_2,\ldots,a_n$ và số thực $q$ cho trước, $0\lt q\lt 1$. Tìm $n$ số thực $b_1,b_2,\ldots,b_n$ thỏa mãn:
(1) $a_k\lt b_k$ với mọi $k=1,2,\ldots,n$;
(2) $q\lt \frac{b_{k+1}}{b_k}\lt \frac1q$ với mọi $k=1,2,\ldots,n-1$;
(3) $b_1+b_2+\cdots+b_n\lt \frac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\cdots+a_n)$.
(SWE 4) (IMO 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2$ nếu $a$ và $b$ là các số thực sao cho phương trình
$$x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$$
có ít nhất một nghiệm thực.
(SWE 6) Xét hai ma trận vuông
$$A=\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&-1&1\\1&1&-1&1&-1\end{bmatrix}\qquad B=\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&-1&-1\\1&1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1&1\\1&-1&1&-1&1\end{bmatrix}$$
có các phần tử $1$ và $-1$. Gọi các phép toán sau là sơ cấp:
(1) Đổi dấu tất cả các số trong một hàng;
(2) Đổi dấu tất cả các số trong một cột;
(3) Đổi chỗ hai hàng (hai hàng trao đổi vị trí);
(4) Đổi chỗ hai cột.
Chứng minh rằng không thể nhận được ma trận $B$ từ ma trận $A$ bằng các phép toán này.
(YUG 5) (IMO 4) Một người lính phải kiểm tra xem có mìn trong một khu vực hình tam giác đều hay không. Bán kính máy dò của anh bằng một nửa một đường cao của tam giác. Người lính bắt đầu từ một đỉnh của tam giác. Hãy xác định đường đi ngắn nhất mà anh phải đi để kiểm tra toàn bộ khu vực.
(CUB 2) Cho $a,\theta\in\mathbb R$, $m\in\mathbb N$, và $P(x)=x^{2m}-2|a|^m x^m\cos\theta+a^{2m}$, hãy phân tích $P(x)$ thành tích của $m$ đa thức bậc hai hệ số thực.
(POL 1) (IMO 5) Cho $\mathcal F$ là tập khác rỗng gồm các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ có dạng $f(x)=ax+b$, trong đó $a$, $b$ là các số thực và $a\ne0$. Giả sử $\mathcal F$ thỏa mãn:
(1) Nếu $f,g\in\mathcal F$ thì $g\circ f\in\mathcal F$, trong đó $(g\circ f)(x)=g[f(x)]$.
(2) Nếu $f\in\mathcal F$ và $f(x)=ax+b$ thì hàm ngược $f^{-1}$ của $f$ thuộc $\mathcal F$ ($f^{-1}(x)=(x-b)/a$).
(3) Không có hàm nào dạng $f(x)=x+c$, với $c\ne0$, thuộc $\mathcal F$.
Chứng minh tồn tại $x_0\in\mathbb R$ sao cho $f(x_0)=x_0$ với mọi $f\in\mathcal F$.