Cho số nguyên $n \geqslant 3$. Chứng minh tồn tại tập $S$ gồm $2 n$ số nguyên dương có tính chất: với mỗi $m=2,3, \ldots, n$, có thể chia $S$ thành hai tập con có tổng các phần tử bằng nhau, trong đó một tập con có $m$ phần tử.
Queenie và Horst chơi trên bàn cờ $20 \times 20$, ban đầu chưa có quân nào. Trong mỗi lượt, Horst đặt một quân mã đen vào một ô trống sao cho quân mã mới không tấn công bất kì quân mã đã đặt nào. Sau đó, Queenie đặt một quân hậu trắng vào một ô trống. Trò chơi kết thúc khi một người không thể thực hiện lượt của mình.
Tìm số dương $K$ lớn nhất sao cho, bất kể chiến lược của Queenie, Horst có thể đặt ít nhất $K$ quân mã lên bàn cờ.
Cho số nguyên dương $n$. Sisyphus thực hiện các lượt trên một bảng gồm $n+1$ ô liên tiếp, đánh số từ 0 đến $n$ từ trái sang phải. Ban đầu, có $n$ viên đá ở ô 0, các ô khác trống. Trong mỗi lượt, Sisyphus chọn một ô có đá, chẳng hạn chứa $k$ viên, lấy một viên và chuyển nó sang phải nhiều nhất $k$ ô; viên đá phải nằm trong bảng. Sisyphus muốn chuyển cả $n$ viên đá đến ô $n$.
Một tháp anti-Pascal là một mảng hữu hạn các số xếp thành hình tam giác: hàng đầu có một số, hàng thứ hai có hai số, hàng thứ ba có ba số, và cứ như vậy. Mỗi số không ở hàng dưới cùng bằng giá trị tuyệt đối của hiệu hai số ngay dưới nó. Ví dụ, tháp bốn hàng sau dùng mỗi số nguyên từ 1 đến $1+2+3+4=10$ đúng một lần:
Cho số nguyên dương $k$. Ban tổ chức một giải quần vợt cần xếp lịch cho $2 k$ người chơi sao cho mỗi cặp đấu nhau đúng một lần và mỗi ngày diễn ra đúng một trận. Mỗi người đến địa điểm thi đấu vào ngày diễn ra trận đầu tiên của mình và rời đi vào ngày diễn ra trận cuối cùng. Với mỗi ngày một người có mặt, ban tổ chức phải trả khách sạn 1 đồng. Tìm tổng chi phí lưu trú nhỏ nhất có thể.
Xét 2018 đường tròn đôi một cắt nhau, không có ba đường tròn nào cùng đi qua một điểm. Chúng chia mặt phẳng thành các miền có biên gồm các cung tròn gặp nhau tại các đỉnh. Mỗi đường tròn có số đỉnh chẵn. Trên từng đường tròn, tô các đỉnh luân phiên đỏ và xanh. Mỗi đỉnh được tô hai lần, một lần theo mỗi đường tròn đi qua nó. Nếu hai lần tô cùng màu, giữ màu đó; nếu khác màu, đổi đỉnh thành màu vàng. Chứng minh nếu một đường tròn có ít nhất 2061 đỉnh vàng thì tồn tại một miền có tất cả các đỉnh đều vàng.
Cho tam giác nhọn $A B C$ có đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$. Các điểm $D$ và $E$ lần lượt thuộc các đoạn $A B$ và $A C$, thỏa mãn $A D=A E$. Các đường trung trực của $B D$ và $C E$ lần lượt cắt các cung nhỏ $\overset{\frown}{A B}$ và $\overset{\frown}{A C}$ tại $F$ và $G$. Chứng minh $D E \| F G$.
Cho tam giác $A B C$ thỏa mãn $A B=A C$, và $M$ là trung điểm $B C$. Điểm $P$ thỏa mãn $P B\lt P C$, với $P A$ song song $B C$. Các điểm $X$ và $Y$ lần lượt thuộc các đường thẳng $P B$ và $P C$, sao cho $B$ thuộc đoạn $P X, C$ thuộc đoạn $P Y$, và $\angle P X M=\angle P Y M$. Chứng minh tứ giác $A P X Y$ nội tiếp.
Chọn điểm $T$ nằm trong tam giác $A B C$. Gọi $A_{1}, B_{1}$ và $C_{1}$ lần lượt là các điểm đối xứng của $T$ qua $B C, C A$ và $A B$. Gọi $\Omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$. Các đường thẳng $A_{1} T, B_{1} T$ và $C_{1} T$ lần lượt cắt lại $\Omega$ tại $A_{2}, B_{2}$ và $C_{2}$. Chứng minh các đường thẳng $A A_{2}, B B_{2}$ và $C C_{2}$ đồng quy tại một điểm trên $\Omega$.
Cho tam giác $A B C$ có đường tròn ngoại tiếp $\omega$ và tâm nội tiếp $I$. Đường thẳng $\ell$ lần lượt cắt các đường thẳng $A I, B I$ và $C I$ tại $D, E$ và $F$, khác các điểm $A, B, C$ và $I$. Các đường trung trực $x, y$ và $z$ lần lượt của các đoạn $A D, B E$ và $C F$ tạo thành tam giác $\Theta$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Theta$ tiếp xúc với $\omega$.
Cho tứ giác lồi $A B C D$ thỏa mãn $A B \cdot C D=B C \cdot D A$. Điểm $X$ nằm trong tứ giác và thỏa mãn $\angle X A B=\angle X C D$, $\angle X B C=\angle X D A$. Chứng minh $\angle A X B+$ $\angle C X D=180^{\circ}$.
