IMO 2008 — Toàn bộ Shortlist

Tìm mọi hàm $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ sao cho

$$
\frac{f(p)^{2}+f(q)^{2}}{f\left(r^{2}\right)+f\left(s^{2}\right)}=\frac{p^{2}+q^{2}}{r^{2}+s^{2}}
$$

với mọi $p, q, r, s\gt 0$ thỏa mãn $p q=r s$.

(a) Chứng minh bất đẳng thức

$$
\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}+\frac{y^{2}}{(y-1)^{2}}+\frac{z^{2}}{(z-1)^{2}} \geq 1
$$

với các số thực $x, y, z \neq 1$ thỏa mãn $x y z=1$.

(b) Chứng minh có vô hạn bộ ba số hữu tỉ $x, y, z$ để đẳng thức xảy ra.

Cho tập số thực $S \subseteq \mathbb{R}$. Cặp hàm $(f, g)$ từ $S$ vào $S$ được gọi là Cặp Tây Ban Nha trên $S$ nếu:

(i) Cả hai hàm tăng nghiêm ngặt, tức là $f(x)\lt f(y)$, $g(x)\lt g(y)$ với mọi $x, y \in S$ thỏa mãn $x\lt y$;

(ii) $f(g(g(x)))\lt g(f(x))$ với mọi $x \in S$.

Xác định có tồn tại Cặp Tây Ban Nha hay không:

(a) Trên tập số nguyên dương $S=\mathbb{N}$;

(b) Trên tập $S=\{a-1 / b: a, b \in \mathbb{N}\}$.

Với số nguyên $m$, gọi $t(m)$ là số duy nhất trong $\{1,2,3\}$ sao cho $m+t(m)$ là bội của 3. Hàm $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn $f(-1)=0, f(0)=1, f(1)=-1$ và

$$
f\left(2^{n}+m\right)=f\left(2^{n}-t(m)\right)-f(m) \quad \text{ cho tất cả các số nguyên } m, n \geq 0 \text{ với } 2^{n}\gt m \text {. }
$$

Chứng minh $f(3 p) \geq 0$ với mọi số nguyên $p \geq 0$.

Cho các số thực dương $a, b, c, d$ thỏa mãn

$$
a b c d=1 \quad \text{ và } \quad a+b+c+d\gt \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}
$$

Chứng minh

$$
a+b+c+d\lt \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d}
$$

Cho hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn

$$
f\left(x+\frac{1}{f(y)}\right)=f\left(y+\frac{1}{f(x)}\right) \quad \text{ cho tất cả } x, y \in \mathbb{R} .
$$

Chứng minh có một số nguyên dương không thuộc tập giá trị của $f$.

Chứng minh với mọi bốn số thực dương $a, b, c, d$, ta có

$$
\frac{(a-b)(a-c)}{a+b+c}+\frac{(b-c)(b-d)}{b+c+d}+\frac{(c-d)(c-a)}{c+d+a}+\frac{(d-a)(d-b)}{d+a+b} \geq 0
$$

Xác định mọi trường hợp xảy ra đẳng thức.

Trong mặt phẳng, xét các hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ và có độ dài dương. Gọi mỗi hình chữ nhật như vậy là một hộp. Hai hộp giao nhau nếu có điểm chung trong miền trong hoặc trên biên.

Tìm $n$ lớn nhất sao cho tồn tại $n$ hộp $B_{1}, \ldots, B_{n}$, trong đó $B_{i}$, $B_{j}$ giao nhau khi và chỉ khi $i \not \equiv j \pm 1(\bmod n)$.

Với mỗi số nguyên dương $n$, tìm số hoán vị $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ của tập $\{1,2, \ldots, n\}$ có tính chất

$$
2\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}\right) \quad \text{ chia hết cho } k \text{ cho } k=1,2, \ldots, n \text {. }
$$

Trong mặt phẳng tọa độ, gọi $S$ là tập mọi điểm có tọa độ nguyên. Với số nguyên dương $k$, hai điểm phân biệt $A, B \in S$ được gọi là $k$-bạn nếu tồn tại $C \in S$ sao cho diện tích tam giác $A B C$ bằng $k$. Tập $T \subset S$ được gọi là $k$-clique nếu mọi hai điểm của $T$ đều là $k$-bạn. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất để tồn tại một $k$-clique có hơn 200 phần tử.

Cho các số nguyên dương cố định $n$, $k$ cùng tính chẵn lẻ, với $k \geq n$. Có $2 n$ bóng đèn đánh số từ 1 đến $2 n$; mỗi đèn có thể bật hoặc tắt. Ban đầu tất cả đều tắt. Xét các dãy gồm $k$ bước; mỗi bước đổi trạng thái một bóng đèn.

Gọi $N$ là số dãy $k$ bước kết thúc ở trạng thái: các đèn $1, \ldots, n$ bật, các đèn $n+1, \ldots, 2 n$ tắt.

Gọi $M$ là số dãy $k$ bước dẫn tới cùng trạng thái và không tác động vào các đèn $n+1, \ldots, 2 n$.

Tìm tỉ số $N / M$.

Cho $S=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k+\ell}\right\}$ là tập gồm $(k+\ell)$ số thực nằm trong $[0,1] ; k$ và $\ell$ là các số nguyên dương. Tập con $k$ phần tử $A \subset S$ được gọi là đẹp nếu

$$
\left|\frac{1}{k} \sum_{x_{i} \in A} x_{i}-\frac{1}{\ell} \sum_{x_{j} \in S \backslash A} x_{j}\right| \leq \frac{k+\ell}{2 k \ell} .
$$

Chứng minh số tập con đẹp ít nhất bằng $\frac{2}{k+\ell}\left(\begin{array}{c}k+\ell \\ k\end{array}\right)$.

Với $n \geq 2$, cho $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{2^{n}}$ là $2^{n}$ tập con của $A=\left\{1,2,3, \ldots, 2^{n+1}\right\}$, thỏa mãn: không tồn tại các chỉ số $a$, $b$ với $a\lt b$ và các phần tử $x, y, z \in A$ với $x\lt y\lt z$ sao cho $y, z \in S_{a}$, $x, z \in S_{b}$. Chứng minh ít nhất một trong các tập $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{2^{n}}$ chứa không quá $4 n$ phần tử.

Trong tam giác nhọn $A B C$, gọi $H$ là trực tâm; $A_{0}, B_{0}, C_{0}$ lần lượt là trung điểm của $B C, C A, A B$. Xét ba đường tròn đi qua $H$: $\omega_{a}$ có tâm $A_{0}, \omega_{b}$ có tâm $B_{0}$, và $\omega_{c}$ có tâm $C_{0}$. Đường tròn $\omega_{a}$ cắt đường thẳng $B C$ tại $A_{1}$, $A_{2} ; \omega_{b}$ cắt $C A$ tại $B_{1}$, $B_{2} ; \omega_{c}$ cắt $A B$ tại $C_{1}$, $C_{2}$. Chứng minh các điểm $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}, C_{1}, C_{2}$ đồng viên.

Cho hình thang $A B C D$ có các cạnh song song $A B$, $C D$. Giả sử tồn tại $E$ trên đường thẳng $B C$, ngoài đoạn $B C$, và $F$ trong đoạn $A D$, sao cho $\angle D A E=\angle C B F$. Gọi $I$ là giao điểm của $C D$, $E F$; gọi $J$ là giao điểm của $A B$, $E F$. Gọi $K$ là trung điểm của $E F$, và giả sử điểm này không nằm trên $A B$.

Chứng minh $I$ thuộc đường tròn ngoại tiếp $A B K$ khi và chỉ khi $K$ thuộc đường tròn ngoại tiếp $C D J$.

Cho tứ giác lồi $A B C D$ và các điểm $P$, $Q$ nằm trong $A B C D$ sao cho $P Q D A$, $Q P B C$ là các tứ giác nội tiếp. Giả sử tồn tại $E$ trên đoạn $P Q$ thỏa mãn $\angle P A E=\angle Q D E$, $\angle P B E=\angle Q C E$. Chứng minh $A B C D$ là tứ giác nội tiếp.

Trong tam giác nhọn $A B C$, các đoạn $B E$, $C F$ là đường cao. Hai đường tròn đi qua $A$, $F$ tiếp xúc với đường thẳng $B C$ tại $P$, $Q$, với $B$ nằm giữa $C$, $Q$. Chứng minh các đường thẳng $P E$, $Q F$ cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $A E F$.

Cho các số nguyên $k$, $n$ thỏa mãn $0 \leq k \leq n-2$. Xét tập $L$ gồm $n$ đường thẳng trong mặt phẳng, không có hai đường song song và không có ba đường đồng quy. Gọi $I$ là tập các giao điểm của các đường trong $L$. Cho điểm $O$ không nằm trên bất kỳ đường nào của $L$.

Điểm $X \in I$ được tô đỏ nếu đoạn mở $O X$ cắt nhiều nhất $k$ đường trong $L$. Chứng minh $I$ chứa ít nhất $\frac{1}{2}(k+1)(k+2)$ điểm đỏ.

Cho tứ giác lồi $A B C D$. Chứng minh tồn tại điểm $P$ trong tứ giác thỏa mãn

$$
\angle P A B+\angle P D C=\angle P B C+\angle P A D=\angle P C D+\angle P B A=\angle P D A+\angle P C B=90^{\circ}
$$

khi và chỉ khi hai đường chéo $A C$, $B D$ vuông góc.

Cho tứ giác lồi $A B C D$ có $A B \neq B C$. Gọi $\omega_{1}$, $\omega_{2}$ là các đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$, $A D C$. Giả sử tồn tại đường tròn $\omega$ nội tiếp góc $A B C$ và tiếp xúc với phần kéo dài của các đoạn $A D$, $C D$. Chứng minh các tiếp tuyến chung ngoài của $\omega_{1}$, $\omega_{2}$ cắt nhau trên $\omega$.