Tìm số nguyên $k$ lớn nhất sao cho mệnh đề sau đúng.
Cho 2009 tam giác không suy biến tùy ý. Trong mỗi tam giác, tô một cạnh xanh dương, một cạnh đỏ và một cạnh trắng. Sắp xếp độ dài các cạnh theo từng màu:
Có 2009 lá bài, mỗi lá có một mặt vàng và một mặt đen, đặt song song trên một bàn dài. Ban đầu tất cả đều ngửa mặt vàng. Hai người đứng cùng một cạnh dài của bàn, lần lượt đi. Mỗi lượt, người chơi chọn một khối 50 lá liên tiếp có lá ngoài cùng bên trái đang ngửa mặt vàng, rồi lật tất cả: vàng thành đen và ngược lại. Người thực hiện nước đi hợp lệ cuối cùng thắng.
Với số nguyên $n \geq 2$, gọi $N(n)$ là số lượng lớn nhất các bộ ba $\left(a_{i}, b_{i}, c_{i}\right), i=1, \ldots, N(n)$ gồm các số nguyên không âm $a_{i}, b_{i}$, $c_{i}$, thỏa mãn:
(1) $a_{i}+b_{i}+c_{i}=n$ với mọi $i=1, \ldots, N(n)$;
Cho số nguyên dương $n$ và dãy $\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n-1}$, trong đó $\varepsilon_{i}=0$ hoặc $\varepsilon_{i}=1$ với mỗi $i=1, \ldots, n-1$. Xây dựng các dãy $a_{0}, \ldots, a_{n}$, $b_{0}, \ldots, b_{n}$ theo các quy tắc
Với số nguyên $m \geq 1$, xét các cách chia bàn cờ $2^{m} \times 2^{m}$ thành các hình chữ nhật gồm các ô bàn cờ, trong đó mỗi ô trong $2^{m}$ ô trên một đường chéo là một hình chữ nhật riêng có cạnh 1. Tìm tổng chu vi các hình chữ nhật nhỏ nhất có thể.
Năm chiếc xô giống nhau, ban đầu rỗng, dung tích 2 lít, đặt tại các đỉnh của một ngũ giác đều. Lọ Lem và bà mẹ kế độc ác chơi qua nhiều vòng. Đầu mỗi vòng, mẹ kế lấy 1 lít nước từ dòng sông gần đó và phân chia tùy ý vào năm xô. Sau đó Lọ Lem chọn hai xô ở các đỉnh kề nhau, đổ hết nước xuống sông và đặt chúng trở lại. Vòng tiếp theo bắt đầu. Mẹ kế muốn làm một xô tràn nước; Lọ Lem muốn ngăn chặn điều đó. Mẹ kế có thể buộc một xô tràn nước hay không?
Trên bàn cờ $999 \times 999$, một quân xe khập khiễng được phép đi từ một ô tới ô kề có chung cạnh. Mỗi bước phải là một lần rẽ: hướng của hai bước liên tiếp vuông góc nhau. Một đường đi không tự cắt là dãy các ô đôi một khác nhau mà quân xe có thể đi qua theo thứ tự bằng các nước đi hợp lệ. Đường đi được gọi là tuần hoàn nếu từ ô cuối, quân xe có thể đi thẳng về ô đầu rồi tiếp tục lặp lại.
Đường đi tuần hoàn, không tự cắt dài nhất của quân xe đi qua bao nhiêu ô?
Biến thể 1. Một con châu chấu nhảy trên trục số thực. Nó bắt đầu tại 0 và thực hiện 2009 bước sang phải có các độ dài $1,2, \ldots, 2009$, theo thứ tự tùy ý. Cho $M$ là tập gồm 2008 số nguyên dương nhỏ hơn $1005 \cdot 2009$. Chứng minh châu chấu có thể sắp xếp các bước sao cho không bao giờ đáp xuống điểm thuộc $M$.
Biến thể 2. Cho số nguyên không âm $n$. Châu chấu bắt đầu tại 0 trên trục số thực và thực hiện $n+1$ bước sang phải có các độ dài nguyên dương đôi một khác nhau $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n+1}$, theo thứ tự tùy ý. Cho $M$ là tập gồm $n$ số nguyên dương thuộc khoảng $(0, s)$, trong đó $s=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n+1}$. Chứng minh có thể sắp xếp các bước sao cho châu chấu không bao giờ đáp xuống điểm thuộc $M$.
Với mỗi số nguyên $n \geq 2$, tính số nguyên $h(n)$ bằng thủ tục sau trên biểu diễn thập phân. Gọi $r$ là chữ số ngoài cùng bên phải của $n$.
(1) Nếu $r=0$, biểu diễn thập phân của $h(n)$ thu được từ $n$ bằng cách bỏ chữ số 0 ngoài cùng bên phải.
(2) Nếu $1 \leq r \leq 9$, tách biểu diễn thập phân của $n$ thành phần bên phải dài nhất $R$, chỉ gồm các chữ số không nhỏ hơn $r$, và phần bên trái $L$, rỗng hoặc kết thúc bằng một chữ số nhỏ hơn $r$. Biểu diễn thập phân của $h(n)$ gồm biểu diễn của $L$, rồi hai bản sao liên tiếp của biểu diễn $R-1$. Ví dụ, với $n=17,151,345,543$, ta có $L=17,151, R=345,543$ và $h(n)=17,151,345,542,345,542$.
Chứng minh từ số nguyên tùy ý $n \geq 2$, áp dụng lặp lại $h$ sẽ thu được số 1 sau hữu hạn bước.
Cho tam giác $A B C$ có $A B=A C$. Các phân giác tại $A$, $B$ lần lượt cắt các cạnh $B C$, $A C$ tại $D$, $E$. Gọi $K$ là tâm nội tiếp tam giác $A D C$. Giả sử $\angle B E K=45^{\circ}$. Tìm mọi giá trị có thể của $\angle B A C$.
Cho tam giác $A B C$ có tâm ngoại tiếp $O$. Các điểm $P$, $Q$ lần lượt nằm trong các cạnh $C A$, $A B$. Đường tròn $k$ đi qua trung điểm của các đoạn $B P$, $C Q$, $P Q$. Chứng minh nếu đường thẳng $P Q$ tiếp xúc với $k$ thì $O P=O Q$.
Cho tam giác $A B C$. Đường tròn nội tiếp của $A B C$ tiếp xúc với các cạnh $A B$, $A C$ lần lượt tại $Z$, $Y$. Gọi $G$ là giao điểm của $B Y$, $C Z$. Lấy các điểm $R$, $S$ sao cho các tứ giác $B C Y R$, $B C S Z$ là hình bình hành. Chứng minh $G R=G S$.
Cho tứ giác nội tiếp $A B C D$. Các đường chéo $A C$, $B D$ cắt nhau tại $E$; các đường thẳng $A D$, $B C$ cắt nhau tại $F$. Gọi $G$, $H$ lần lượt là trung điểm của $A B$, $C D$. Chứng minh $E F$ tiếp xúc tại $E$ với đường tròn qua $E, G$, $H$.