Ngân hàng câu hỏi IMO Shortlist 1988

(BUL 1) Một dãy số nguyên được xác định bởi $$a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}\quad(n\gt 1),\qquad a_0=0,\quad a_1=1.$$ Chứng minh rằng $2^k$ là ước của $a_n$ khi và chỉ khi $2^k$ là ước của $n$.

(BUL 3) Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm số hệ số lẻ của đa thức $$u_n(x)=(x^2+x+1)^n.$$

(CAN 1) Tam giác $ABC$ nội tiếp một đường tròn. Các đường phân giác trong của các góc $A$, $B$ và $C$ cắt lại đường tròn lần lượt tại $A'$, $B'$ và $C'$. Chứng minh rằng diện tích tam giác $A'B'C'$ lớn hơn hoặc bằng diện tích tam giác $ABC$.

(CZS 1) Một bàn cờ $n\times n$ $(n\ge2)$ được đánh số bằng các số $1,2,\ldots,n^2$ (mỗi số xuất hiện một lần). Chứng minh rằng tồn tại hai ô kề nhau (có chung một cạnh) mà các số trên chúng chênh lệch ít nhất $n$.

(CZS 2) IMO2 Cho $n$ là số nguyên dương chẵn. Cho $A_1,A_2,\ldots,A_{n+1}$ là các tập hợp, mỗi tập có $n$ phần tử, sao cho hai tập bất kỳ có đúng một phần tử chung, còn mỗi phần tử thuộc hợp của chúng nằm trong ít nhất hai tập đã cho. Với những $n$ nào, có thể gán cho mỗi phần tử của hợp một trong các số $0$ và $1$ sao cho mỗi tập có đúng $n/2$ số không?

(CZS 3) Trong tứ diện $ABCD$ cho trước, gọi $K$ và $L$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng mọi mặt phẳng chứa đường thẳng $KL$ đều chia tứ diện thành hai phần có thể tích bằng nhau.

(FRA 2) Gọi $a$ là nghiệm dương lớn nhất của phương trình $x^3-3x^2+1=0$. Chứng minh rằng $[a^{1788}]$ và $[a^{1988}]$ đều chia hết cho $17$. ($[x]$ ký hiệu phần nguyên của $x$.)

(FRA 3) Cho $u_1,u_2,\ldots,u_m$ là $m$ vectơ trong mặt phẳng, mỗi vectơ có độ dài không vượt quá $1$, có tổng bằng vectơ không. Chứng minh rằng có thể sắp xếp lại $u_1,u_2,\ldots,u_m$ thành dãy $v_1,v_2,\ldots,v_m$ sao cho mỗi tổng riêng $v_1,v_1+v_2,v_1+v_2+v_3,\ldots,v_1+v_2+\cdots+v_m$ có độ dài không vượt quá $\sqrt5$.

(FRG 1) IMO6 Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên dương sao cho $ab+1$ là ước của $a^2+b^2$. Chứng minh rằng $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ là một số chính phương.

(GDR 1) Cho $N=\{1,2,\ldots,n\}$, $n\ge2$. Một họ $F=\{A_1,\ldots,A_t\}$ gồm các tập con $A_i\subseteq N$, $i=1,\ldots,t$, được gọi là phân tách nếu với mỗi cặp $\{x,y\}\subseteq N$, tồn tại một tập $A_i\in F$ sao cho $A_i\cap\{x,y\}$ chứa đúng một phần tử. Một họ $F$ được gọi là phủ nếu mỗi phần tử của $N$ thuộc ít nhất một tập $A_i\in F$. Giá trị nhỏ nhất $f(n)$ của $t$ để tồn tại một họ $F=\{A_1,\ldots,A_t\}$ vừa phân tách vừa phủ là bao nhiêu?

(GDR 3) Khóa của một két sắt gồm ba bánh xe, mỗi bánh có thể đặt ở tám vị trí khác nhau. Do cơ cấu két bị lỗi, cửa sẽ mở nếu hai bánh xe bất kỳ trong ba bánh ở đúng vị trí. Cần thử ít nhất bao nhiêu tổ hợp để chắc chắn mở được két (giả sử không biết “tổ hợp đúng”)?

(GRE 2) Trong tam giác $ABC$, chọn tùy ý các điểm $K\in BC$, $L\in AC$, $M\in AB$, $N\in LM$, $R\in MK$ và $F\in KL$. Nếu $E_1,E_2,E_3,E_4,E_5,E_6$ và $E$ lần lượt là diện tích các tam giác $AMR$, $CKR$, $BKF$, $ALF$, $BNM$, $CLN$ và $ABC$, hãy chứng minh rằng $$E\ge8\sqrt[6]{E_1E_2E_3E_4E_5E_6}.$$ Nhận xét. Các điểm $K,L,M,N,R,F$ lần lượt nằm trên các đoạn thẳng $BC,AC,AB,LM,MK,KL$.

(GRE 3) IMO5 Trong tam giác vuông $ABC$, gọi $AD$ là đường cao hạ xuống cạnh huyền và đường thẳng nối tâm các đường tròn nội tiếp của hai tam giác $ABD$, $ACD$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $K$, $L$. Nếu $E$ và $E_1$ lần lượt là diện tích các tam giác $ABC$ và $AKL$, hãy chứng minh rằng $\frac{E}{E_1}\ge2$.

(HUN 1) Với những giá trị nào của $n$ tồn tại một bảng $n\times n$ có các phần tử là $-1$, $0$ hoặc $1$ sao cho $2n$ tổng nhận được bằng cách cộng các phần tử của từng hàng và từng cột đều khác nhau?

(ICE 1) Cho $ABC$ là tam giác nhọn. Ba đường thẳng $L_A$, $L_B$ và $L_C$ lần lượt đi qua các đỉnh $A$, $B$ và $C$ được dựng theo quy tắc sau: Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ xuống cạnh $BC$; gọi $S_A$ là đường tròn đường kính $AH$; gọi các giao điểm của $S_A$ với các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt là $M$ và $N$, trong đó $M$ và $N$ khác $A$; khi đó $L_A$ là đường thẳng qua $A$ vuông góc với $MN$. Các đường thẳng $L_B$ và $L_C$ được dựng tương tự. Chứng minh rằng $L_A$, $L_B$ và $L_C$ đồng quy.

(IRE 1) IMO4 Chứng minh rằng tập nghiệm của bất phương trình $$\sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}\ge\frac54$$ là hợp của các khoảng không giao nhau có tổng độ dài bằng $1988$.

(ISR 2) Trong ngũ giác lồi $ABCDE$, các cạnh $BC$, $CD$, $DE$ có cùng độ dài. Hơn nữa, mỗi đường chéo của ngũ giác song song với một cạnh ($AC$ song song với $DE$, $BD$ song song với $AE$, v.v.). Chứng minh rằng $ABCDE$ là ngũ giác đều.

(LUX 1) IMO1 Xét hai đường tròn đồng tâm có bán kính $R$ và $r$ $(R\gt r)$, tâm $O$. Cố định $P$ trên đường tròn nhỏ và xét dây cung $PA$ thay đổi của đường tròn nhỏ. Các điểm $B$ và $C$ nằm trên đường tròn lớn; $B,P,C$ thẳng hàng và $BC$ vuông góc với $AP$.

(a) Với những giá trị nào của $\angle OPA$ thì tổng $BC^2+CA^2+AB^2$ đạt cực trị?

(b) Các trung điểm $U$ của $BA$ và $V$ của $AC$ có thể nằm ở những vị trí nào khi $\angle OPA$ thay đổi?

(MEX 1) Cho $f(n)$ là một hàm xác định trên tập số nguyên dương và nhận giá trị trong cùng tập đó. Giả sử $f(f(m)+f(n))=m+n$ với mọi số nguyên dương $n,m$. Tìm tất cả các giá trị có thể của $f(1988)$.

(MON 4) Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất sao cho nếu chia tùy ý tập $\{1,2,\ldots,n\}$ thành hai tập con không giao nhau thì một trong hai tập chứa ba số phân biệt mà tích của hai số bằng số thứ ba.