Câu hỏi 7
Với mỗi số nguyên $ k \geq 3 $, chứng minh rằng tồn tại duy nhất bộ $ (x_1, x_2, \ldots, x_k) $ gồm các số thực dương sao cho $ x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_k $ và
$$ \left\lfloor nx_{1}+\frac{1}{2}\right\rfloor+\left\lfloor nx_{2}+\frac{1}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor nx_{k}+\frac{1}{2}\right\rfloor=n $$
với mọi số nguyên n.
Ở đây, $\lfloor z\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá z. Ví dụ, $\lfloor-\pi\rfloor=-4$ và $\lfloor2\rfloor=\lfloor2.9\rfloor=2$.
$$ \left\lfloor nx_{1}+\frac{1}{2}\right\rfloor+\left\lfloor nx_{2}+\frac{1}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor nx_{k}+\frac{1}{2}\right\rfloor=n $$
với mọi số nguyên n.
Ở đây, $\lfloor z\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá z. Ví dụ, $\lfloor-\pi\rfloor=-4$ và $\lfloor2\rfloor=\lfloor2.9\rfloor=2$.