(BUL 2) Xét dãy đa thức $P_0(x),P_1(x),P_2(x),\ldots,P_n(x),\ldots$, trong đó $P_0(x)=2$, $P_1(x)=x$ và với mọi $n\ge1$, ta có:
$$P_{n+1}(x)+P_{n-1}(x)=xP_n(x).$$
Chứng minh rằng tồn tại ba số thực $a,b,c$ sao cho với mọi $n\ge1$,
$$(x^2-4)[P_n(x)^2-4]=[aP_{n+1}(x)+bP_n(x)+cP_{n-1}(x)]^2.\tag{1}$$
(BUL 5) (IMO 5) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $m\ge1$, tồn tại một tập hữu hạn $S_m$ gồm các điểm trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện sau: Nếu $A$ là một điểm bất kỳ thuộc $S_m$ thì có đúng $m$ điểm thuộc $S_m$ cách $A$ một khoảng bằng $1$.
(GDR 1) Biết hệ
$$\begin{cases}x+y+z=3,\\x^3+y^3+z^3=15,\\x^4+y^4+z^4=35,\end{cases}$$
có một nghiệm thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\lt 10$. Tìm giá trị của $x^5+y^5+z^5$ ứng với nghiệm đó.
(GBR 3) Cho hai đường tròn tiếp xúc nhau trong mặt phẳng, có bán kính $r_1,r_2$. Một đường thẳng cắt hai đường tròn tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng dài bằng nhau. Tìm độ dài này theo $r_1$ và $r_2$, cùng điều kiện để bài toán có nghiệm.
(HUN 1) (IMO 1) Cho các số thực $a,b,c,d,e$. Chứng minh rằng biểu thức
$$(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)+(b-a)(b-c)(b-d)(b-e)+(c-a)(c-b)(c-d)(c-e)$$
$$+(d-a)(d-b)(d-c)(d-e)+(e-a)(e-b)(e-c)(e-d)$$
không âm.
(HUN 7) Cho số tự nhiên $n\ge2$. Tìm cách gán các số tự nhiên cho các đỉnh của một đa giác đều $2^n$ cạnh sao cho:
(1) chỉ dùng các chữ số $1$ và $2$;
(2) mỗi số có đúng $n$ chữ số;
(3) các đỉnh khác nhau được gán các số khác nhau;
(4) các số gán cho hai đỉnh kề nhau khác nhau ở đúng một chữ số.
(NET 1) (IMO 4) Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các mặt là tam giác nhọn. Đặt
$$\sigma=\angle DAB+\angle BCD-\angle ABC-\angle CDA.$$
Xét tất cả các đường gấp khúc kín $XYZTX$ có các đỉnh $X,Y,Z,T$ lần lượt nằm trong phần trong của các đoạn $AB,BC,CD,DA$. Chứng minh rằng:
(a) nếu $\sigma\ne0$, không có đường gấp khúc $XYZT$ nào có độ dài nhỏ nhất;
(b) nếu $\sigma=0$, có vô số đường gấp khúc như vậy có độ dài nhỏ nhất. Độ dài đó bằng $2AC\sin(\alpha/2)$, trong đó
$$\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB.$$
(NET 4) Xác định xem có tồn tại các số thực phân biệt $a,b,c,t$ thỏa mãn:
(i) phương trình $ax^2+btx+c=0$ có hai nghiệm thực phân biệt $x_1,x_2$,
(ii) phương trình $bx^2+ctx+a=0$ có hai nghiệm thực phân biệt $x_2,x_3$,
(iii) phương trình $cx^2+atx+b=0$ có hai nghiệm thực phân biệt $x_3,x_1$ hay không.
(POL 1) Cho $T_k=k-1$ với $k=1,2,3,4$ và
$$T_{2k-1}=T_{2k-2}+2^{k-2},\qquad T_{2k}=T_{2k-5}+2^k\quad(k\ge3).$$
Chứng minh rằng với mọi $k$,
$$1+T_{2n-1}=\left[\frac{12}7\,2^{n-1}\right]\qquad1+T_{2n}=\left[\frac{17}7\,2^{n-1}\right],$$
trong đó $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
(POL 3) Ma trận
$$\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots&a_{1n}\\\vdots&\cdots&\vdots\\a_{n1}&\ldots&a_{nn}\end{pmatrix}$$
thỏa mãn bất đẳng thức $\sum_{j=1}^n|a_{j1}x_1+\cdots+a_{jn}x_n|\le M$ với mọi cách chọn các số $x_i$ bằng $\pm1$. Chứng minh rằng
$$|a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}|\le M.$$
(POL 6) Cho hai tam giác đều bằng nhau $ABC$ và $A'B'C'$ trong mặt phẳng. Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn $AA',BB',CC'$ hoặc thẳng hàng, hoặc tạo thành một tam giác đều.
(SWE 5) (IMO 6) Xét bảng $n\times n$ gồm các số nguyên không âm
$$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{pmatrix},$$
có tính chất sau: Nếu phần tử $a_{ij}$ bằng không thì tổng các phần tử của hàng thứ $i$ và cột thứ $j$ lớn hơn hoặc bằng $n$. Chứng minh rằng tổng tất cả các phần tử lớn hơn hoặc bằng $\frac12n^2$.
(USS 1) Vẽ một đường gấp khúc $A_1A_2\ldots A_n$ trong hình vuông $50\times50$ sao cho khoảng cách từ mỗi điểm của hình vuông đến đường gấp khúc nhỏ hơn $1$. Chứng minh rằng tổng độ dài của đường gấp khúc lớn hơn $1248$.
(USS 2) Các số tự nhiên từ $1$ đến $99$ (không nhất thiết phân biệt) được ghi trên $99$ thẻ. Biết rằng tổng các số trên bất kỳ tập con nào của các thẻ (kể cả tập tất cả các thẻ) đều không chia hết cho $100$. Chứng minh rằng mọi thẻ đều ghi cùng một số.
(USS 5) (IMO 2) Cho đa diện lồi $P_1$ có $9$ đỉnh $A_1,\ldots,A_9$. Gọi $P_2,P_3,\ldots,P_9$ lần lượt là ảnh của $P_1$ qua các phép tịnh tiến biến đỉnh $A_1$ thành $A_2,A_3,\ldots,A_9$. Chứng minh rằng trong các đa diện $P_1,\ldots,P_9$, có ít nhất hai đa diện có chung một điểm trong.
(YUG 1) Chứng minh bất đẳng thức
$$\frac{a_1+a_3}{a_1+a_2}+\frac{a_2+a_4}{a_2+a_3}+\frac{a_3+a_1}{a_3+a_4}+\frac{a_4+a_2}{a_4+a_1}\ge4,$$
trong đó $a_i\gt 0$, $i=1,2,3,4$.